Question

已知復(fù)數(shù)z₁滿足（1+i）z₁=3+i，復(fù)數(shù)z滿足．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）設(shè)z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x²-px+q=0的一個(gè)根，求p、q的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的復(fù)數(shù)滿足的條件，表示出復(fù)數(shù)，進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，得到代數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)之間的關(guān)系，利用復(fù)數(shù)相等的條件得到結(jié)果．
（2）z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x²-px+q=0的一個(gè)根，得1-i是實(shí)系數(shù)方程x²-px+q=0的根，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，寫出字母系數(shù)的表示式，得到結(jié)果．
解答：解：（1）因?yàn)椋?+i）z₁=3+i，所以，（2分）
設(shè)z=a+bi（a，b∈R），且．
所以（a+bi）（2-i）+a-bi=4⇒（3a+b）+（b-a）i=4（2分）
由兩復(fù)數(shù)相等的定義得：，解得（1分）
所以復(fù)數(shù)z=1+i．（1分）
（2）z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x²-px+q=0的一個(gè)根，
得1-i是實(shí)系數(shù)方程x²-px+q=0的根，（2分）
所以p=（1+i）+（1-i）=2（2分）
q=（1+i）•（1-i）=2（2分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)系數(shù)的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的一個(gè)虛數(shù)根寫出另一個(gè)虛數(shù)根，本題是一個(gè)中檔題目．