Question

已知復(fù)數(shù)z₁滿足（1-i）z₁=1+3i，z₂=a-i（a∈R），其中i為虛數(shù)單位．
（1）求z₁
（2）若z₁是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x²-px+q=0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p、q的值．
（3）若 | z1-

.

z2

 | ＞ 

2

  |z1|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為分式的形式，利用復(fù)數(shù)同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為a+bi的形式即可得到z₁．
（2）若z₁是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x²-px+q=0的一個(gè)根，求出另一個(gè)根，利用韋達(dá)定理即可求實(shí)數(shù)p、q的值．
（3）求出|z1-

.

z2

|的模，利用 | z1-

.

z2

 | ＞ 

2

  |z1|，得到a的關(guān)系式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z₁滿足（1-i）z₁=1+3i，
所以z1=

1+3i

1-i

=

(1+3i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=-1+2i…（3分）
（2））z₁是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x²-px+q=0的一個(gè)根，實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)，
由韋達(dá)定理可知p=-1+2i+（-1-2i）=-2，q=（-1+2i）（-1-2i）=1+4=5，
所以p=-2，q=5…（6分）
（3）z1-

.

z2

 =(-1+2i) -(a+i) =-1-a+i…（8分）
由| z1-

.

z2

 | ＞ 

2

  |z1|，∴（-1-a）²+1＞10…（10分）
∴a＜-4，或a＞2故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-4）∪（2，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的求法，復(fù)數(shù)方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．