【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,△PAD為正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB=2AD=4.
(1)求證:平面PCD⊥平面PAD;
(2)求三棱錐P—ABC的體積;
(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PAD?若存在,
請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置并證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析.
【解析】分析:(1)先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得CD⊥平面PAD,再根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)果,(2)取AD的中點(diǎn)O,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得PO⊥平面ABCD,即PO為三棱錐P—ABC的高,最后根據(jù)三棱錐體積公式得結(jié)果,(3)先探索得 E為PC的中點(diǎn),取CP,CD的中點(diǎn)E,F,利用平幾知識(shí)得四邊形ABFD為平行四邊形,即得BF∥AD,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論.
詳解:(1)證明 因?yàn)?/span>AB∥CD,AB⊥AD,所以CD⊥AD.
因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面PAD.
因?yàn)?/span>CD平面PCD,
所以平面PCD⊥平面PAD.
(2)解 取AD的中點(diǎn)O,
連接PO.
因?yàn)?/span>△PAD為正三角形,
所以PO⊥AD.
因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD,
所以PO為三棱錐P—ABC的高.
因?yàn)?/span>△PAD為正三角形,CD=2AB=2AD=4,
所以PO=.
所以V三棱錐P—ABC=S△ABC·PO
=××2×2×=.
(3)解 在棱PC上存在點(diǎn)E,當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí),
BE∥平面PAD.
分別取CP,CD的中點(diǎn)E,F,連接BE,BF,EF,
所以EF∥PD.因?yàn)?/span>AB∥CD,CD=2AB,
所以AB∥FD,AB=FD,
所以四邊形ABFD為平行四邊形,
所以BF∥AD.
因?yàn)?/span>BF∩EF=F,AD∩PD=D,
所以平面BEF∥平面PAD.
因?yàn)?/span>BE平面BEF,
所以BE∥平面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】提高過(guò)江大橋的車輛通行的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度(單位:千米/小時(shí))是車流密度(單位:輛/千米)
的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),就會(huì)造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)
車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/小時(shí).研究表明:當(dāng)時(shí),
車流速度是車流密度的一次函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如果車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)) (單位:輛/小時(shí)),那么當(dāng)車流密度為多大時(shí),車流量可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到輛/小時(shí)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為七檔(五級(jí)),相對(duì)應(yīng)空氣質(zhì)量的七個(gè)類別,指數(shù)越大,說(shuō)明污染的情況越嚴(yán)重,對(duì)人體危害越大.
指數(shù) | 級(jí)別 | 類別 | 戶外活動(dòng)建議 |
Ⅰ | 優(yōu) | 可正;顒(dòng) | |
Ⅱ | 良 | ||
Ⅲ | 輕微污染 | 易感人群癥狀有輕度加劇,健康人群出現(xiàn)刺激癥狀,心臟病和呼吸系統(tǒng)疾病患者應(yīng)減少體積消耗和戶外活動(dòng). | |
輕度污染 | |||
Ⅳ | 中度污染 | 心臟病和肺病患者癥狀顯著加劇,運(yùn)動(dòng)耐受力降低,健康人群中普遍出現(xiàn)癥狀,老年人和心臟病、肺病患者應(yīng)減少體力活動(dòng). | |
中度重污染 | |||
Ⅴ | 重污染 | 健康人運(yùn)動(dòng)耐受力降低,由明顯強(qiáng)烈癥狀,提前出現(xiàn)某些疾病,老年人和病人應(yīng)當(dāng)留在室內(nèi),避免體力消耗,一般人群應(yīng)盡量減少戶外活動(dòng). |
現(xiàn)統(tǒng)計(jì)邵陽(yáng)市市區(qū)2016年1月至11月連續(xù)60天的空氣質(zhì)量指數(shù),制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這60天中屬輕度污染的天數(shù);
(2)求這60天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值;
(3)將頻率分布直方圖中的五組從左到右依次命名為第一組,第二組,…,第五組.從第一組和第五組中的所有天數(shù)中抽出兩天,記它們的空氣質(zhì)量指數(shù)分別為, ,求事件的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕,把與折成互相垂直的兩個(gè)平面后,有以下四個(gè)結(jié)論:
①;
②;
③三棱錐是正三棱錐;
④平面的法向量和平面的法向量互相垂直.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________________(請(qǐng)把正確結(jié)論的序號(hào)都填上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).
(1)求證:PA⊥BD;
(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;
(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐E-BCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集是,求,的值;
(2)設(shè)關(guān)于的不等式的解集是,集合,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集是,求,的值;
(2)設(shè)關(guān)于的不等式的解集是,集合,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量,函數(shù)的最小值為.
(1)當(dāng)時(shí),求的值;
(2)求;
(3)已知函數(shù)為定義在上的增函數(shù),且對(duì)任意的都滿足,問(wèn):是否存在這樣的實(shí)數(shù),使不等式對(duì)所有恒成立,若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
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