Question

已知曲線y=ax³-bx(a≠0)上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,且過A、B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB.

(1)試判斷A、B兩點(diǎn)是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,并說明理由；

(2)求出a、b所滿足的條件.

Answer 1

解：(1)由y=ax³-bx,得y′=3ax²-b.

設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)(x₁≠x₂).

由題意,過A、B兩點(diǎn)的切線平行,

∴3ax₁²-b=3ax₂²-b,

即x₁²=x₂²,由于x₁≠x₂,∴x₁=-x₂.

又∵y₁=ax₁³-bx₁=-ax₂³+bx₂=-(ax₂³-bx₂)=-y₂,

∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)由(1)知,直線AB必過原點(diǎn),

∴直線AB的斜率k==ax₁²-b.而過A的切線與直線AB垂直.

∴(3ax₁²-b)·(ax₁²-b)=-1,即3a²x₁⁴-4abx₁²+b²+1=0.

令x₁²=t,則關(guān)于t的方程3a²t²-4abt+b²+1=0在(0,+∞)上有根.

此方程有兩正根,其充要條件為4a²b²-3a²(1+b²)≥0且＞0,

∴得ab＞0且|b|≥a＞0,b≥或a＜0,b≤.