【題目】設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓E： （a≥b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)O且斜率為 的直線與直線AB相交M，且 ．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率e；
（Ⅱ）PQ是圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過(guò)P，Q兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓E： （a≥b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，

∴A（a，0），B（0，b）， ，∴M（ ， ）．

∴ ，解得a=2b，

∴ ，

∴橢圓E的離心率e為 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴橢圓E的方程為 ，即x2+4y2=4b2（1）

依題意，圓心C（2，1）是線段PQ的中點(diǎn)，且 ．

由對(duì)稱性可知，PQ與x軸不垂直，

設(shè)其直線方程為y=k（x﹣2）+1，代入（1）得：

（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

則 ， ，

由 得 ，解得 ．

從而x1x2=8﹣2b2．

∴ ．

解得：b2=4，a2=16，∴橢圓E的方程為 ．


【解析】（Ⅰ）推導(dǎo)出A（a，0），B（0，b），M（ ， ），從而 ，進(jìn)而a=2b，由此能求出橢圓E的離心率．（Ⅱ）設(shè)橢圓E的方程為 ，設(shè)直線PQ的方程為y=k（x﹣2）+1，與橢圓聯(lián)立得（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式，求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】新學(xué)年伊始，某中學(xué)學(xué)生社團(tuán)開(kāi)始招新，某高一新生對(duì)“海濟(jì)公益社”、“理科學(xué)社”、“高音低調(diào)樂(lè)社”很感興趣，假設(shè)她能被這三個(gè)社團(tuán)接受的概率分別為 ， ， ．
（1）求此新生被兩個(gè)社團(tuán)接受的概率；
（2）設(shè)此新生最終參加的社團(tuán)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是常數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；

（2）當(dāng)時(shí)，求方程的解集；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)= ,其中.

(1)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為增函數(shù);

(2)設(shè)函數(shù)= ,若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并求出該零點(diǎn)(可用表示).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某科考試中，從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各抽取10名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，兩班成績(jī)的莖葉圖如圖所示，成績(jī)不小于90分為及格． （Ⅰ）設(shè)甲、乙兩個(gè)班所抽取的10名同學(xué)成績(jī)方差分別為 、 ，比較 、 的大�。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果，不寫過(guò)程）；
（Ⅱ）從甲班10人任取2人，設(shè)這2人中及格的人數(shù)為X，求X的分布列和期望；
（Ⅲ）從兩班這20名同學(xué)中各抽取一人，在已知有人及格的條件下，求抽到乙班同學(xué)不及格的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，且，向量， .

（1）求函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)， 的最大值為5，求的值；

（3）當(dāng)時(shí)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖都是邊長(zhǎng)為1的正方體疊成的幾何體，例如第（1）個(gè)幾何體的表面積為6個(gè)平方單位，第（2）個(gè)幾何體的表面積為18個(gè)平方單位，第（3）個(gè)幾何體的表面積是36個(gè)平方單位．依此規(guī)律，則第n個(gè)幾何體的表面積是個(gè)平方單位．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1，且f(0)＝f(2)＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在區(qū)間[2a，a＋1]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)在區(qū)間[－1,1]上，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋2m＋1的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖：已知拋物線 C1：y2=2px （p＞0），直線 l 與拋物線 C 相交于 A、B 兩點(diǎn)，且當(dāng)傾斜角為 60°的直線 l 經(jīng)過(guò)拋物線 C1 的焦點(diǎn) F 時(shí)，有|AB|= ．

（Ⅰ）求拋物線 C 的方程；
（Ⅱ）已知圓 C2：（x﹣1）2+y2= ，是否存在傾斜角不為 90°的直線 l，使得線段 AB 被圓 C2截成三等分？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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