Question

已知直線(xiàn)l：y=2x與拋物線(xiàn)C：y=

1

4

x²交于A（x_A，y_A）、O（0，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)B（x_A，y_B）．如圖所示．
（1）求拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）過(guò)拋物線(xiàn)x²=2py的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線(xiàn)，過(guò)這兩條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)A、B的直線(xiàn)AB是否恒過(guò)定點(diǎn)，如果是，指出此定點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線(xiàn)C：y=

1

4

x²的方程化為x²=4y，即可得到2p=4，進(jìn)而得到焦點(diǎn)．
（2）分別聯(lián)立方程組

y=2x y= 1 4 x2

，

y=- 1 2 x y= 1 4 x2

，即可解得點(diǎn)A，B坐標(biāo)．再利用點(diǎn)斜式即可得出．
（3）結(jié)論：過(guò)拋物線(xiàn)x²=2py的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線(xiàn)，過(guò)這兩條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)的直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，2p）．證明時(shí)類(lèi)比（2）可得，設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)x²=2py的頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)為y=kx （k≠0），則另一條為y=-

1

k

x，分別聯(lián)立方程組

y=kx x2=kx

，聯(lián)立方程組

y=- 1 k x x2=2py

，解得點(diǎn)A，B坐標(biāo)．再利用點(diǎn)斜式即可得出．

解答：解：（1）拋物線(xiàn)C：y=

1

4

x²的方程化為x²=4y，
∴2p=4，p=2．
∴拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）．
（2）聯(lián)立方程組

y=2x y= 1 4 x2

，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為（8，16）．
聯(lián)立方程組

y=- 1 2 x y= 1 4 x2

，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，1）．
∴直線(xiàn)AB的方程為y-1=

16-1

8-(-2)

(x+2)，即3x-2y+8=0．
令x=0，解得y=4．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4）．
（3）結(jié)論：過(guò)拋物線(xiàn)x²=2py的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線(xiàn)，過(guò)這兩條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)的直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，2p）．
證明如下：
設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)x²=2py的頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)為y=kx （k≠0），則另一條為y=-

1

k

x
聯(lián)立方程組

y=kx x2=kx

，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為（2pk，2pk²）．
聯(lián)立方程組

y=- 1 k x x2=2py

，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為(-

2p

k

，

2p

k2

)．
∴直線(xiàn)AB的方程為y-

2p

k2

=

2pk2- 2p k2

2pk-(- 2p k )

(x+

2p

k

)，
令x=0，解得y=2p．
∴直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，2p）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、過(guò)頂點(diǎn)的兩條相互垂直的直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)相交的交點(diǎn)的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了類(lèi)比推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．