Question

【題目】某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格．銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低銷x（單位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件． （Ⅰ）將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx2 ， 若記商品在一個星期的獲利為f（x）， 則依題意有f（x）=（30﹣x﹣9）（432+kx2）=（21﹣x）（432+kx2），
又由已知條件，24=k22 ， 于是有k=6，
所以f（x）=﹣6x3+126x2﹣432x+9072，x∈[0，30]．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），我們有f'（x）=﹣18x2+252x﹣432=﹣18（x﹣2）（x﹣12）．

x	[0，2）	2	（2，12）	12	（12，30]
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↘	極小	↗	極大	↘

∴當(dāng)x=12時，f（x）達到極大值．
因為f（0）=9072，f（12）=11664；
所以定價為30﹣12=18元能使一個星期的商品銷售利潤最大
【解析】（Ⅰ）先設(shè)商品降價x元，寫出多賣的商品數(shù)，則可計算出商品在一個星期的獲利數(shù)，再依題意：“商品單價降低2元時，一星期多賣出24件”求出比例系數(shù)即可得一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中得到的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其極值，從而救是f（x）達到極大值．從而得出所以定價為多少元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大．