【題目】如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).

(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求證:二面角C﹣PB﹣A的余弦值.

【答案】
(1)證明:如圖,

由AB是圓的直徑,得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC.

又PA∩AC=A,PA平面APC,AC平面PAC,

所以BC⊥平面PAC.

因?yàn)锽C平面PBC,

所以平面PAC⊥平面PBC;


(2)解:過(guò)C作CM⊥AB于M,

因?yàn)镻A⊥平面ABC,CM平面ABC,所以PA⊥CM,

故CM⊥平面PAB.

過(guò)M作MN⊥PB于N,連接NC.

由三垂線定理得CN⊥PB.

所以∠CNM為二面角C﹣PB﹣A的平面角.

在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得 , ,

在Rt△ABP中,由AB=2,AP=1,得

因?yàn)镽t△BNM∽R(shí)t△BAP,所以

故MN=

又在Rt△CNM中, .故cos

所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值為


【解析】(1)要證平面PAC⊥平面PBC,只要證明平面PBC經(jīng)過(guò)平面PAC的一條垂線BC即可,利用題目給出的條件借助于線面垂直的判定定理能夠證明BC⊥平面PAC(2)因?yàn)槠矫鍼AB和平面ABC垂直,只要在平面ABC內(nèi)過(guò)C作兩面的交線AB的垂線,然后過(guò)垂足再作PB的垂線,連結(jié)C和后一個(gè)垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角,然后在作出的直角三角形中通過(guò)解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平面與平面垂直的判定,掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,在中,,點(diǎn)在線段上.過(guò)點(diǎn)于點(diǎn),將沿折起到的位置(點(diǎn)重合),使得.

(Ⅰ)求證:.

(Ⅱ)試問(wèn):當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí),二面角的平面角的余弦值是否為定值?若是,求出其定值;若不是,說(shuō)明理由.

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1)求l1,l2之間的距離;

2)若存在x使不等式成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

3)對(duì)于函數(shù)fx)和gx)的公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0,稱(chēng)|fx0-gx0|的值為兩函數(shù)在x0處的偏差.求證:函數(shù)fx)和gx)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2

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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分別是AB,PD的中點(diǎn),且PA=AD

(Ⅰ)求證:AF∥平面PEC

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【題目】設(shè)是某港口水的深度(單位:)關(guān)于時(shí)間的函數(shù),其中.下表是該港口某一天從時(shí)至時(shí)記錄的時(shí)間與水深的關(guān)系:

t

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

經(jīng)長(zhǎng)期觀察,函數(shù)的圖像可以近似看成函數(shù)的圖像.最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是__________

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(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)直線 交橢圓于, 兩點(diǎn),若點(diǎn)始終在以為直徑的圓外,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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