Question

已知向量

a

=（x²-1，-1），

b

=（x，y），當|x|＜

2

時，有

a

⊥

b

；當|x|≥

2

時，

a

∥

b

．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）若對|x|≥

2

，都有f（x）≤m，求實數m的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據當|x|＜

2

時，有

a

⊥

b

；當|x|≥

2

時，

a

∥

b

，分別利用相應的運算，即可求得函數的解析式；
（2）利用導數，確定其小于0，即可得到函數的單調遞減區(qū)間；
（3）利用函數的單調性，確定函數的值域，可得函數的最小值，從而可得m的最小值．

解答：解：（1）由題意，當|x|＜

2

時，（x²-1）x-y=0，即y=x³-x；
當|x|≥

2

時，（x²-1）y+x=0，即y=

x

1-x2

∴y=f（x）=

x3-x，|x|＜ 2 x 1-x2 ，|x|≥ 2

；
（2）當|x|＜

2

時，y′=3x²-1＜0，可得-

3

3

＜x＜

3

3

；當|x|≥

2

時，y′=

1+x2

(1-x2)2

＞0恒成立，
∴函數的單調遞減區(qū)間是(-

3

3

，

3

3

)；
（3）由（2）知，當x≥

2

時，函數單調遞增，且f（x）∈[-

2

，0）；當x≤-

2

時，函數單調遞增，且f（x）∈（0，

2

]，
∴函數具有最小值-

2

∴m≥-

2

∴m的最小值-

2

．

點評：本題考查向量知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查恒成立問題，確定函數的單調性是關鍵．