Question

已知向量

a

=(sin(

x

2

+

π

12

)，  cos

x

2

)，

b

=(cos(

x

2

+

π

12

)，  -cos

x

2

)，x∈[

π

2

，  π]，函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）若cosx=-

3

5

，求函數(shù)f（x）的值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x₀對稱，且x₀∈（-2，-1），求x₀的值．

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積，二倍角公式以及兩角和與差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（1）利用x的范圍，結(jié)合cosx=-

3

5

，求出sinx的值，然后求函數(shù)f（x）的值；
（2）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x₀對稱，就是x=x₀，函數(shù)取得最值，求出x₀的值，通過x₀∈（-2，-1），即可求x₀的值．

解答：解：函數(shù)f（x）=

a

•

b

=sin(

x

2

+

π

12

)cos(

x

2

+

π

12

)-cos2

x

2

=

1

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

(1+cosx)…（3分）
=

3

4

sinx-

1

4

cosx-

1

2

=

1

2

sin(x-

π

6

)-

1

2

．…（6分）
（1）∵x∈[

π

2

，  π]，cosx=-

3

5

，∴sinx=

4

5

，…（9分）
∴f(x)=

3

4

sinx-

1

4

cosx-

1

2

=

3

5

-

7

20

．                       …（11分）
（2）∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=x₀對稱，
∴x0-

π

6

=kπ+

π

2

，∴x0=kπ+

2π

3

，k∈Z．…（14分）
∵x₀∈（-2，-1），
∴x0=-

π

3

．                                …（16分）

點評：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．