【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一點.
(Ⅰ)若BM=2MP,求證:PD∥平面MAC;
(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若二面角B﹣AC﹣M的余弦值為 ,求 的值.

【答案】證明:(Ⅰ)連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)OM.
因為 AB∥CD,AB=2CD,所以
因為 BM=2MP,所以 .所以
所以O(shè)M∥PD.
因為 OM平面MAC,PD平面MAC,
所以 PD∥平面MAC.
(Ⅱ)因為 平面PAD⊥平面ABCD,AD⊥AB,
平面PAD∩平面ABCD=AD,AB平面ABCD,
所以AB⊥平面PAD.
因為PA平面PAD,所以AB⊥PA.
同理可證:AD⊥PA.
因為 AD平面ABCD,AB平面ABCD,AD∩AB=A,
所以PA⊥平面ABCD.
解:(Ⅲ)分別以邊AD,AB,AP所在直線為x,y,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由AB=AD=AP=2CD=2,
得A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,1,0),D(2,0,0),P(0,0,2),
,
由(Ⅱ)得:PA⊥平面ABCD.
所以 平面ABCD的一個法向量為
設(shè) (0≤λ≤1),即 .所以
設(shè)平面AMC的法向量為 ,
,即
令x=λ﹣1,則y=2﹣2λ,z=﹣2λ.所以
因為 二面角B﹣AC﹣M的余弦值為 ,
所以 ,解得
所以 的值為


【解析】(Ⅰ)連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)OM,推導(dǎo)出OM∥PD,由此能證明PD∥平面MAC.(Ⅱ)推導(dǎo)出AB⊥PA,AD⊥PA,由此能證明PA⊥平面ABCD.(Ⅲ)分別以邊AD,AB,AP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出 的值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行,以及對平面與平面垂直的判定的理解,了解一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

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