如圖,為坐標原點,橢圓的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點分別為,離心率為,已知,且.
(1)求的方程;
(2)過點作的不垂直于軸的弦,為的中點,當直線與交于兩點時,求四邊形面積的最小值.
(1)   (2) 

試題分析:(1)利用橢圓和雙曲線之間的關(guān)系可以用分別表示雙曲線和橢圓的離心率和焦點,由題目和即可得到之間的兩個方程,聯(lián)立方程消元即可求出的值,得到雙曲線和橢圓的標準方程.
(2)利用(1)求出焦點的坐標,設(shè)出弦的直線的方程,聯(lián)立直線與橢圓消得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩點縱坐標之間的和與積,進而得到點的縱坐標帶入AB直線即可得到的橫坐標,進而求出直線的方程,即為直線的方程,聯(lián)立直線的方程得到的取值范圍和求出點的坐標得到的長度,利用點到直線的距離得到到直線的距離表達式,進而用表示四邊形的面積,利用不等式的性質(zhì)和的取值范圍即可得到面積的最小值.
(1)由題可得,且,因為,且,所以且且,所以橢圓方程為,雙曲線的方程為.
(2)由(1)可得,因為直線不垂直于軸,所以設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,則,,則,因為在直線上,所以,則直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線可得,則,則,設(shè)點到直線的距離為,則到直線的距離也為,則,因為在直線的兩端,所以,
則 ,又因為在直線上,所以,
則四邊形面積,因為,所以當時,四邊形面積的最小值為.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分12分）
已知點A,橢圓E:的離心率為；F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點
（I）求E的方程；
（II）設(shè)過點A的動直線與E 相交于P,Q兩點。當的面積最大時，求的直線方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，為橢圓在軸正半軸上的焦點，、兩點在橢圓上，且，定點.
（1）求證：當時；
（2）若當時有，求橢圓的方程；
（3）在（2）的橢圓中，當、兩點在橢圓上運動時，試判斷 是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時、兩點所在直線方程，若不存在，給出理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓的弦的中點為，則弦所在直線的方程是           .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，D是它短軸上的一個端點，若3＝＋2，則該橢圓的離心率為(　　)
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：.
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)O為原點，若點A在直線，點B在橢圓C上，且，求線段AB長度的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓:，過點的直線與橢圓交于、兩點，若點恰為線段的中點，則直線的方程為           。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知F1、F2為橢圓的左右焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點，若，則= _____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點,焦點在x軸上,左右焦點分別為F1,F2,且它們在第一象限的交點為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2).則該橢圓的離心率的取值范圍是__________.

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