Question

某商品每件成本5元，售價14元，每星期賣出75件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價降低1元時，一星期多賣出5件.

（1）將一星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù)；

（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

 

Answer 1

（1）；（2）當即商品每件定價為9元時，可使一個星期的商品銷售利潤最大.

【解析】

試題分析：（1）先寫出多賣的商品數(shù)，則可計算出商品在一個星期的獲利數(shù)，再依題意：“商品單價降低1元時，一星期多賣出5件”求出比例系數(shù)，即可得一個星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù)；（2）根據(jù)（1）中得到的函數(shù)，利用導數(shù)研究其極值，也就是求出函數(shù)的極大值，從而得出定價為多少元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大.

試題解析：（1）依題意，設，由已知有，從而

3分

7分

（2） 9分

由得，由得或

可知函數(shù)在上遞減，在遞增，在上遞減 11分

從而函數(shù)取得最大值的可能位置為或是

，

當時， 13分

答：商品每件定價為9元時，可使一個星期的商品銷售利潤最大 14分.

考點：1.函數(shù)模型及其應用；2.導數(shù)的實際應用.