Question

已知，其中是自然常數(shù)，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí), 研究的單調(diào)性與極值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：；

Answer 1

（Ⅰ）的極小值為；（Ⅱ）。

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000816746235.png" style="vertical-align:middle;" />，，那么求解導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得到單調(diào)性的求解。
（2） 的極小值為1，即在上的最小值為1，
∴ ，，構(gòu)造函數(shù)令，確定出最大值。比較大小得到。
解：（Ⅰ），   ……2分
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增   …………4分 
∴的極小值為                         ……6分
（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，
∴ ，……5分
令，，  …………8分   
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增  ………9分
∴     ………11分
∴在（1）的條件下，……………………………12分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定函數(shù)單調(diào)性，和導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)的左右符號的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)極值，進(jìn)而求解最值。