Question

設(shè)函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最大值；
（3）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

（1）；（2）時(shí)，取最大值；（3）．

解析試題分析：（1）先求出，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，所以，從而求出；（2）根據(jù)判斷函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)性，從而判斷出最大值點(diǎn)，求出最大值；（3）由題意可知，方程有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)，則函數(shù)圖像與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)存在極小值即為最小值，最小值為，從中求出．
試題解析：
（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1a/3/sxgbe.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，所以，所以．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
（2），令得，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/39/2/8sgei.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，取最大值．
（3）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bb/a/azzgx1.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解，
所以有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則，
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7a/b/ounh91.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，則  即，
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7a/b/ounh91.png" style="vertical-align:middle;" />，所以（*），設(shè)函數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b6/b/1td3r1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以方程（*）的解為，
即，解得．
考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，突出考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．