【題目】已知圓M: 和點(diǎn) ,動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)N且與圓M相切,圓心P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)點(diǎn)A是曲線E與x軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)B,C在曲線E上,若直線AB,AC的斜率分別是k1 , k2 , 滿足k1k2=9,求△ABC面積的最大值.

【答案】
(1)解:圓M: 的圓心為M(0,﹣ ),半徑為2 ,

點(diǎn)N(0, ),在圓M內(nèi),因?yàn)閯?dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)N且與圓M相切,

所以動(dòng)圓P與圓M內(nèi)切.設(shè)動(dòng)圓P半徑為r,則2 =|PM|.

因?yàn)閯?dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)N,所以r=|PN|,|PM|+|PN|= >|MN|,

所以曲線E是M,N為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 的橢圓.

由a= ,c= ,得b2=3﹣2=1,

所以曲線E的方程為:


(2)解:直線BC斜率為0時(shí),不合題意;

設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),直線BC:x=ty+m,

聯(lián)立方程組 ,得(1+3t2)y2+6mty+3m2﹣3=0,

y1+y2= ,y1y2= ,

又k1k2=9,知y1y2=9(x1﹣1)(x2﹣1)=9(ty1﹣1+m)(ty2﹣1+m)

=9t2y1y2+9(m﹣1)t(y1+y2)+9(m﹣1)2

且m≠1,y1+y2= ,y1y2= ,代入化簡(jiǎn)得(9t2﹣1)(m+1)﹣18mt2+3(m﹣1)(1+3t2)=0,

解得m=2,故直線BC過定點(diǎn)(2,0),

由△>0,解得t2>1,

S△ABC= |y2﹣y1|= = = ,

(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)).

綜上,△ABC面積的最大值為:


【解析】(1)先根據(jù)圓M的一般方程求得其圓心坐標(biāo)及半徑,再結(jié)合點(diǎn)N的位置判斷圓M與圓P是內(nèi)切還是外切,因此可列出兩個(gè)圓的半徑與其圓心距的關(guān)系,從而得到|PM|+|PN|=>|MN|,有橢圓定義可得曲線E的方程;(2)先根據(jù)所給條件判斷直線BC的特征,再利用三角形ABC的特點(diǎn)列出面積公式并求其取值范圍進(jìn)而求得三角形面積的最大值.

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