Question

【題目】已知橢圓的長軸為，且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，若點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)（不同于點(diǎn)、）直線.設(shè)直線的方程為，直線與直線、、分別交于、、三點(diǎn)，試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，請求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)長軸長和橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)求解標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求出E，M，F的坐標(biāo)，根據(jù)建立等量關(guān)系分析定值.

（1）因?yàn)殚L軸為，故

將代入方程

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，：，：，：分別與直線求交點(diǎn)橫坐標(biāo)，，，若滿足條件，則

解得；同理，若點(diǎn)為時(shí)，也解得

②當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)不為±2，直線：與聯(lián)立，解得

直線：與聯(lián)立，解得

直線：與聯(lián)立，解得

（注：因?yàn)橹本�與直線、、都相交，所以以上分母不為0）

若有，則

（因?yàn)辄c(diǎn)、、在直線上，所以當(dāng)時(shí)，必有

，滿足）

故只需驗(yàn)證

，（*）

（若恒成立，取特殊點(diǎn)代入也滿足，得

，若沒有①，此時(shí)特殊化得扣2分）

將代入（*）式驗(yàn)證是否恒成立即可

又因?yàn)?/span>代入上式，得

，

即存在，使得（*）式恒成立.