【題目】如圖，三棱柱中，，，平面.

（1）求證：；

（2）若，直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）首先由平面證得，根據(jù)四邊形是菱形證得，由此證得平面，進(jìn)而證得.

（2）首先根據(jù)“直線與平面所成的角為”得到.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)平面的法向量和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>平面，所以，

因?yàn)?/span>，所以四邊形是菱形，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面，

所以.

（2）因?yàn)?/span>與平面所成的角為，，

所以與平面所成的角為，

因?yàn)?/span>平面，

所以與平面所成的角為，

所以，

令，則，，，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

因?yàn)?/span>，

所以，平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

令，則，，，

所以，

所以二面角的余弦值為.

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【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與相交于兩點(diǎn).

（1）若，求的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，若是的外心，證明:為定值.

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(1)寫(xiě)出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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【題目】為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

超過(guò)1小時(shí)

不超過(guò)1小時(shí)

男

20

8

女

12

m

（1）求m，n；

（2）能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過(guò)1小時(shí)與性別有關(guān)？

附：

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

K2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.如圖是趙爽弦圖及注文.弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成朱色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí).由2×勾×股+（股－勾）2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)，化簡(jiǎn)得勾2+股2=弦2.若圖中勾股形的勾股比為，向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲100顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘顆數(shù)大約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）

A.2B.4C.6D.8

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【題目】給定橢圓C:(),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C的離心率,點(diǎn)在C上.

(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;

(2)點(diǎn)P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線,使得,與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且,分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)M,N,證明:弦長(zhǎng)為定值.

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【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】已如橢圓E：（）的離心率為，點(diǎn)在E上.

（1）求E的方程：

（2）斜率不為0的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與E交于P，Q兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在定點(diǎn)C，使得？若存在，求C的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

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【題目】已知定義在R上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是（ ）

A. B.

C. D.

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