Question

（2009•黃浦區(qū)二模）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數(shù)）對任意n∈N^*都成立，則我們把數(shù)列{a_n}稱為“L型數(shù)列”．
（1）試問等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}（公比為r）是否為L型數(shù)列？若是，寫出對應(yīng)p、q的值；若不是，說明理由．
（2）已知L型數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的兩根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求證：數(shù)列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數(shù)列（只選其中之一加以證明即可）．
（3）請你提出一個關(guān)于L型數(shù)列的問題，并加以解決．（本小題將根據(jù)所提問題的普適性給予不同的分值，最高10分）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，兩種類型的數(shù)列都可寫成a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數(shù)）的形式，所以等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}（公比為r）都是L型數(shù)列．
（2）欲證數(shù)列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數(shù)列，只需證明數(shù)列的后一項與前一項的比為常數(shù)．），根據(jù)x₁、x₂是x²+px+q=0的兩實數(shù)根，p²-4q＞0，可得a_n+1-x₁a_n=x₂（a_n-x₁a_n-1），即可判斷數(shù)列{a_n+1-x₁a_n}（n∈N^*）是以（b-x₁a）為首項，公比為x₂的等比數(shù)列．
（3）此題答案不唯一，只要符合題意就行．例如：已知L型數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n-2a_n-1=0（n≥2，n∈N^*，），且a₁=1，a₂=2，求數(shù)列{a_n-a_n-1}的通項公式．利用構(gòu)造法，把a_n+1+a_n=2a_n-1兩邊均減2a_n，即可證明．

解答：解：（1）答：等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}（n∈N^*）都是L型數(shù)列．
理由　當(dāng)數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列時，有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
即a_n+2-2a_n+1+a_n=0，且相應(yīng)的p=-2，q=1．                   　　   
所以等差數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是L型數(shù)列．
同樣，當(dāng)數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是等比數(shù)列時，有b_n+2=rb_n+1（r為公比），
即b_n+2-rb_n+1+0•b_n=0，且相應(yīng)的p=-r，q=0．     　               
所以等比數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是L型數(shù)列．
證（2）∵a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，q≠0），x₁、x₂是x²+px+q=0的兩實數(shù)根，p²-4q＞0，
∴x₁≠x₂，x₁x₂≠0，x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，a_n+1-（x₁+x₂）a_n+x₁x₂a_n-1=0．  
∴a_n+1-x₁a_n=x₂a_n-x₁x₂a_n-1=x₂（a_n-x₁a_n-1）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
又b-ax_i≠0（i=1，2），a₁=a，a₂=b，
∴數(shù)列{a_n+1-x₁a_n}（n∈N^*）是以（b-x₁a）為首項，公比為x₂的等比數(shù)列．　　　
（同理可證，數(shù)列{a_n+1-x₂a_n}（n∈N^*）是等比數(shù)列）
（3）此題答案不唯一，只要符合題意就行．
例如：已知L型數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n-2a_n-1=0（n≥2，n∈N^*，），且a₁=1，a₂=2，
求數(shù)列{a_n-a_n-1}的通項公式．
解答：∵a_n+1+a_n-2a_n-1=0，
∴a_n+1+a_n=2a_n-1，a_n+1-a_n=2a_n-1-2a_n=-2（a_n-a_n-1）
∴

an+1-an

an-an-1

=-2
∴數(shù)列{a_n-a_n-1}為等比數(shù)列，公比為-2，首項為2-1=1
∴數(shù)列{a_n-a_n-1}的通項公式為a_n-2a_n-1=1×（-2）^n-1=（-2）^n-1

點評：本題主要考查了利用等差，等比數(shù)列的通項公式，判斷新數(shù)列的性質(zhì)．