Question

已知圓的圓心C在直線y=-2x上，且與直線x+y-1=0相切于點(diǎn)A（2，-1）
（1）求圓C的方程
（2）經(jīng)過點(diǎn)B（8，-3）的一束光線射到T（t，0）后被x軸反射，反射光線與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，可得圓心C（a，b），把圓心C坐標(biāo)代入y=-2x得到關(guān)于a與b的方程，再由切點(diǎn)A在圓上，把A的坐標(biāo)代入所設(shè)的圓C方程，得到一個(gè)關(guān)系式，再由切線的性質(zhì)可得直線AO與切線垂直，由切線的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，得出關(guān)于a與b的另一個(gè)方程，把兩個(gè)關(guān)于a與b的方程聯(lián)立組成方程組，求出方程的解集得到a與b的值，再把求出的a與b的值代入關(guān)系式中求出r²，即可確定出圓C的方程；
（2）求出B關(guān)系x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，設(shè)反射線方程的斜率為k，表示出反射線的方程，記作（ξ），當(dāng)該直線與圓C相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，故利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的兩個(gè)值，可得出光的反射線與圓C有公共點(diǎn)時(shí)k的范圍，把反射點(diǎn)T的坐標(biāo)代入（ξ）中，用k表示出t，根據(jù)此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，由k的范圍即可求出t的范圍．

解答：解：（1）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
根據(jù)題意得：

2a+b=0 (2-a)2+(1-b)2=r2 b+1 a-2 ×(-1)=-1

，
解得：

a=1 b=-2 r2=2

，
則圓C的方程為（x-1）²+（y+2）²=2；
（2）易知點(diǎn)B（8，-3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′（8，3），
則設(shè)光的反射線方程為y-3=k（x-8），即kx-y+3-8k=0（ξ），
若該直線與圓C相切，則有

|5-7k|

k2+1

=

2

，
解得：k=1或k=

23

47

，
則當(dāng)光的反射線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，k∈[

23

47

，1]，
將T（t，0）代入（ξ）中得：t=8-

3

k

，
該函數(shù)在[

23

47

，1]上是增函數(shù)，
則實(shí)數(shù)t的范圍是[

43

23

，5]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)，切線的性質(zhì)，以及函數(shù)增減性的運(yùn)用，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．