Question

【題目】如圖所示，傾角為的一個光滑斜面，由斜面上一點O通過斜面最大斜率的豎直平面內(nèi)斜上拋一個小球，初速度為v，拋出方向與斜面交角，。

（1）．若小球與斜面的每次碰撞不消耗機械能，并且小球在第n次與斜面相碰時正好回到拋射點O，試求、、n滿足的關(guān)系式。

（2）．若小球與斜面每次碰撞后，與斜面垂直的速度分量滿足：碰后值是碰前值的e倍，。并且小球在第n次與斜面相碰時正好回到拋射點O，試求、、n和e滿足的關(guān)系式。

（3）．由2，若其中第r次與斜面相碰時，小球正好與斜面垂直相碰，試證明此時滿足關(guān)系式：。

Answer 1

【答案】1． 2． 3.見解析

【解析】

(1)建立如圖所示的直角坐標系.斜上拋的小球在y軸方向上有多次的往復(fù)運動,而在x軸方向上只有一次。設(shè)為小球第k次與斜面相碰的點,、是小球第k次與斜面相碰后速度在x、y方向上的分量,加速度為

，。

到的時間滿足

，即。

由此可以得到小球從O點拋出開始,直至抵達所經(jīng)歷的時間為

。

因為小球與斜面的每次碰撞中并不消耗能量,所以,

所以,。

因斜面是光滑的,再利用x軸方向的分量運動方程,當小球與斜面碰撞n次時有,

即。

聯(lián)立與(用n替代中的k)可以得到。

(2)利用(1)中小球從O點拋出開始,直至抵達所經(jīng)歷的時間，

小球與斜面垂直的分量滿足

所以,。

再利用,聯(lián)立上式,整理可以得到

。

(3)接上問,現(xiàn)小球在第r次與斜面相碰時與斜面垂直,即,而

，

即。

利用(其中k用r代之),聯(lián)立,整理后得,

將代入,即可得.

本題的命題方式是在同一模型背景下,設(shè)計出不同層次的問題,且隨著問題的升級,涉及的信息量、干擾問題的因子、計算量等也隨之增加,對不同層面的答題者作出了有效的區(qū)分,本題中問題是通過小球與斜面的碰撞從彈性到非彈性,再到碰撞時小球沿斜面方向與垂直于斜面方向的約束關(guān)系的確定,將問題一步一步地向上推。

事實上,設(shè)置了多問的試題大多都有這一功能,對這類試題的解答我們應(yīng)該量力而行,努力完成自己能夠完成的部分內(nèi)容。