Question

【題目】如圖甲所示，在坐標面的原點O處有一帶電粒子發(fā)射源，發(fā)射出的粒子相同，質(zhì)量為m，電量，粒子出射的速率同為v，出射方向與x軸的夾角在范圍內(nèi)。略去粒子間的相互作用，試設計一個磁場，使得這些粒子通過磁場力的作用，成為寬度為D且沿x軸方向行進的平行粒子束。

Answer 1

【答案】邊界線的顯式方程：。要求,。

【解析】

可供設計選擇的磁場并不唯一，為盡可能簡單，取勻強磁場。

為使帶正電粒子最終朝x軸方向運動，B的方向應垂直于xOy平面朝外，帶電粒子從O點射出后，在磁場區(qū)域做勻速圓周運動，圓半徑為

。

若平面上處處都有磁場，粒子將在各自圓軌道上持續(xù)運動，不可能沿x軸射出。參考圖乙，為使粒子能從圓運動轉(zhuǎn)變?yōu)檠?/span>x軸的直線運動，應讓粒子在圓P點沿圓的切線方向射出。這意味著P點的左側(cè)有磁場，P點的右側(cè)沒有磁場，或者說P點即為所設計磁場的邊界點。P點坐標x，y由角確定如下：

，。

不同的角對應不同的，這些P點構(gòu)成磁場邊界線，上述兩式即是磁場邊界線的參量方程。消去參量，即可得邊界線的顯式方程：

。

這是一個圓心在y軸、半徑也為R的圓，已在圖乙中示出，為使粒子束出射寬度為D，要求。

與前面給出的R和B的關(guān)系式聯(lián)立，即得。

需要指出，上面所得的邊界方程其實給出的是由出射點組成的磁場右半圓邊界線，這部分曲線必須嚴格界定，磁場既不能向外擴展，也不可向內(nèi)收縮，磁場的左半圓邊界并非由粒子出射點構(gòu)成，它是為保證從O點射出的發(fā)射角在范圍的粒子能做圓周運動而設定的，這部分曲線可允許向外延伸，但不可向內(nèi)收縮，或者說磁場可向外擴展，但不可向內(nèi)收縮。