Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù)f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M為不等式f（x）＜2的解集．
（1）求M；
（2）證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a+b|＜|1+ab|．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)x＜- 時(shí)，不等式f（x）＜2可化為： ﹣x﹣x﹣ ＜2，

解得：x＞﹣1，

∴﹣1＜x＜- ，

當(dāng)- ≤x≤ 時(shí)，不等式f（x）＜2可化為： ﹣x+x+ =1＜2，

此時(shí)不等式恒成立，

∴- ≤x≤ ，

當(dāng)x＞ 時(shí)，不等式f（x）＜2可化為：﹣ +x+x+ ＜2，

解得：x＜1，

∴ ＜x＜1，

綜上可得：M=（﹣1，1）

（2）

當(dāng)a，b∈M時(shí)，

（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，

即a2b2+1＞a2+b2，

即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，

即（ab+1）2＞（a+b）2，

即|a+b|＜|1+ab|．

【解析】（1）分當(dāng)x＜- 時(shí)，當(dāng)- ≤x≤ 時(shí)，當(dāng)x＞ 時(shí)三種情況，分別求解不等式，綜合可得答案；（2）當(dāng)a，b∈M時(shí)，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2 ， 配方后，可證得結(jié)論．；本題考查的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的解法，不等式的證明，難度中檔．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的絕對(duì)值不等式的解法，需要了解含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能得出正確答案．