Question

【題目】如圖所示，在彈性系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧下面懸掛一個質(zhì)量為的盤，盤不動時，一個質(zhì)量為的質(zhì)點從高處自由下落，落到盤中時與盤發(fā)生完全非彈性碰撞.此后，盤（和質(zhì)點）的振動將在豎直方向振動.試求：（1）這個振動的振幅；

（2）以質(zhì)點碰撞盤為計時起點、向下為位移正方向，求解振動方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）與碰撞前，的速度大小為

.

設(shè)與碰撞后的共同速度為，由動量守恒有，

所以，.

由平衡條件易知，碰撞點在新的平衡點上方，即.

設(shè)系統(tǒng)振動的振幅為，由能量關(guān)系有

，

可求得振幅.

（2）系統(tǒng)做簡諧振動，其角頻率，建立平衡位置為原點且向下為正方向的坐標(biāo)系，設(shè)其振動初位相為，則

，

.

將振動位移方程的初始條件

，，

代入，有

，

.

所以有，

即.

進(jìn)而有

.

對于簡諧振動的分析與計算，初態(tài)的分析與計算是一個非常重要的節(jié)點，它在一定程度上決定了你對整個振動的描述正確與否.

對于初態(tài)的確定，其初位相的確定是最為復(fù)雜的，也是非常重要的，特別是在非完整的諧振中，相位的確定直接決定了解答能否進(jìn)行.而相位的確定往往必須結(jié)合位移與速度進(jìn)行綜合判斷，單一從速度與位移通常是難以確定的.

對相位的確定，既可從振動方程得到（如本題），也可利用參考圓進(jìn)行確定，方法無所謂優(yōu)劣，重在你處理時的謹(jǐn)慎與否.