Question

【題目】半徑為的均勻薄壁球殼分成兩部分并牢固連接起來，如圖所示。求所得高腳杯重心的高度。設(shè)高腳杯的腳高為.

Answer 1

【答案】位于離高腳杯“底”高處

【解析】

將高腳杯分成一條條高的平小腰帶,如圖所示.顯然,整個(gè)高腳杯的重心實(shí)質(zhì)上是這種小腰帶系的重心。

但是每條這種小腰帶的重心均位于半徑為的圓的圓心,這些圓心分布在過球心的豎直線上,因而我們需要求質(zhì)點(diǎn)系重心的位置,每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量就是相應(yīng)腰帶的質(zhì)量.我們探索它與哪些因素有關(guān)。

設(shè)球殼單位面積材料的密度為,則每條腰帶表面的面積為

，

而質(zhì)量.。

可見所有腰帶的質(zhì)量?jī)H取決于它們的高度(當(dāng)和一定時(shí))。

由此可見,高腳杯的重心是相同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)系的重心,各質(zhì)點(diǎn)均勻分布在長(zhǎng)為的豎直線段上.因而,高腳杯的重心位于它高度的中點(diǎn),即位于距離高腳杯“底”高處。

從理論上講,對(duì)于本題這種形狀不規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)分布的物體的重心或質(zhì)心,應(yīng)該采用積分求解,但基于我們的數(shù)學(xué)能力,這將是一條無法達(dá)到目的的途徑。

中學(xué)物理競(jìng)賽,不是學(xué)習(xí)大學(xué)物理和大學(xué)數(shù)學(xué),我們不可能在高中有限的時(shí)間內(nèi)掌握大量的知識(shí),因此,知識(shí)的不足也是我們的障礙之一,而優(yōu)選方法則是規(guī)避知識(shí)不足,這種方法是需要我們平時(shí)學(xué)習(xí)與積累的。