Question

【題目】如圖甲所示，靜止的圓錐體豎直放置，頂角為，質(zhì)量為，且分布均勻的鏈條水平地套在圓錐體上，忽略鏈條與錐面之間的摩擦力，試求鏈條中的張力.

Answer 1

【答案】

【解析】

由對(duì)稱(chēng)性易知，鏈條內(nèi)部各處的張力應(yīng)是處處相等的，而要求鏈條內(nèi)部的張力，則需將鏈條內(nèi)部的張力轉(zhuǎn)化為外力，這就需要從鏈條中隔離出某一部分作為研究對(duì)象，在本題中，可取一小段為研究對(duì)象，即中學(xué)階段常用的微元法.

如圖乙所示，設(shè)鏈條環(huán)半徑為，在鏈條環(huán)中任取一小段為研究對(duì)象，設(shè)其質(zhì)量為，受力為：圓錐面的支持力，其方向垂直于圓錐面，重力以及兩端所受的張力。平衡時(shí)上述諸力在水平面的分力之和為零，在鉛垂方向的分力之和也應(yīng)為零。據(jù)此，列出相應(yīng)的兩個(gè)方程，即可解出.

如圖丙所示，圓錐面支持力在水平面內(nèi)的分力為，它與小段兩端所受張力應(yīng)達(dá)到平衡。設(shè)對(duì)鏈條環(huán)中心的張角為，在水平方向的受力如圖丙所示，則有

. ①

因很短，很小，故有

. ②

將②代入①，得. ③

又在鉛垂方向亦應(yīng)受力平衡，故有

. ④

由以上兩式得， ⑤

式中. ⑥

將⑥代入⑤，得.

故鏈條環(huán)中的張力為.