Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A（4，0），頂點的縱坐標(biāo)是-1，拋物線的對稱軸與x軸交于點C，直線y=-2x-1與拋物線交于一點B（-2，m），且與y軸、拋物線的對稱軸分別交于點D、E．
（1）求m的值與拋物線的解析式．
（2）試判斷△BCE的形狀并說明理由．
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得PB=PE？若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線上點的性質(zhì)將B點代入直線解析式得出m的值，即可得出二次函數(shù)頂點坐標(biāo)，利用頂點式求出即可；
（2）首先求出E點坐標(biāo)，再求出CG=3，BG=4，以及BC的長，即可得出△BCE的形狀；
（3）作EH⊥y軸于H，可證明△DHE≌△DKB，求出直線CD的解析式，再與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求出交點坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵點B（-2，m）在直線y=-2x-1上，
∴m=-2×（-2）-1=3，
由對稱性知拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，-1），
∴設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）²-1，
將點O（0，0）代入解析式得：a=

1

4

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

4

(x-2)2-1；

（2）△BCE是等腰三角形，
拋物線y=

1

4

(x-2)2-1的對稱軸是x=2，
∴直線y=-2x-1與直線x=2的交點坐標(biāo)是E（2，-5），
∴CE=5，
如圖，作BG⊥直線x=2于點G，則CG=3，BG=4，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC=

32+42

=5，
∴BC=CE，△BCE是等腰三角形．

（3）存在，
作EH⊥y軸于H，
∵∠BKD=∠DHE，
∠BDK=∠HDE，
BK=HE=2，
∴△DHE≌△DKB，
∴DB=DE，又CB=CE，
∴CD是線段BE的垂直平分線，
由PB=PE，∴點P在直線CD上，
∴符合條件的點P是直線CD與拋物線的交點
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
將點D（0，-1），C（2，0）分別代入得：

b=-1 2k+b=0

，
解得：k=

1

2

，b=-1，
∴直線CD的解析式為y=

1

2

x-1；
解方程組：

y= 1 2 x-1 y= 1 4 (x-2)2-1

，
得：

x1=3+ 5 y1= 1+ 5 2

，

x2=3- 5 y2= 1- 5 2

，
∴符合條件的點P的坐標(biāo)為（3+

5

，

1+ 5

2

）或（3-

5

，

1- 5

2

）．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求以一次函數(shù)解析式以及頂點式求二次函數(shù)解析式以及函數(shù)交點坐標(biāo)求法等知識，結(jié)合數(shù)形結(jié)合熟練應(yīng)用函數(shù)交點求法是解決問題的關(guān)鍵．