Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對稱軸x=-2與x軸交于點(diǎn)C，直線y=-2x+1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B（2，m），且與y軸．直線x=-2分別交于點(diǎn)D、E．
（1）求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）①判斷△CBE的形狀，并說明理由；②判斷CD與BE的位置關(guān)系；
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個動點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PB=PE？若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸為x=-2，且過O、A兩點(diǎn)，因此A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）．可用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，然后根據(jù)直線y=-2x+1求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）①可根據(jù)拋物線的解析式求出D，E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出△CBE三邊的長，可據(jù)此來進(jìn)行判斷△CBE的形狀．
②應(yīng)該是CD⊥EB，可過E、B作y軸的垂線通過證三角形全等來得出D是BE中點(diǎn)，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)來得出CD⊥EB的結(jié)論．
（3）由題意可知：P點(diǎn)必為線段BE垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，可先求出線段BE的垂直平分線，然后聯(lián)立拋物線的解析式，即可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（2，m）在直線y=-2x+1上，
∴m=-2×2+1=-3，
∴B（2，-3）
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A，對稱軸為x=-2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0）
設(shè)所求的拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-0）（x+4），將點(diǎn)B（2，-3）代入上式，
得-3=a（2-0）（2+4），
∴a=-

1

4

，
∴所求的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

4

（x+4），
即y=-

1

4

x²-x．

（2）①△CBE為等腰三角形
∵直線y=-2x+1與y軸、直線x=-2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為D（0，1），E（-2，5）、過點(diǎn)B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=-2交于G，
∴BG⊥直線x=-2，BG=4、
在Rt△BGC中，BC=

CG2+BG2

=5．
∵CE=5，
∴CB=CE=5，
∴△CBE為等腰三角形．
②CD⊥BE
過點(diǎn)E作EH∥x軸，交y軸于H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（0，5），
又∵點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F（0，-3）、D（0，1），
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°
∴△DFB≌△DHE（SAS），
∴BD=DE，即D是BE的中點(diǎn)，
∴CD⊥BE

（3）存在
∵PB=PE，
∴點(diǎn)P在直線CD上，
∴符合條件的點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn)
設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將D（0，1）C（-2，0）代入，
得

b=1 -2k+b=0

．
解得k=

1

2

，b=1
∴直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

x+1，
∵動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-

1

4

x2-x），
∴

1

2

x+1=-

1

4

x²-x
解得x₁=-3+

5

，x₂=-3-

5

，
∴y₁=

-1+ 5

2

，y₂=

-1- 5

2

．
∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3+

5

，

-1+ 5

2

）或（-3-

5

，

-1- 5

2

）．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、等腰三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．