【題目】如圖(1),在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,動點P在線段AC上以5cm/s的速度從點A運動到點C,過點P作PD⊥AB于點D,將△APD繞PD的中點旋轉180°得到△A′DP,設點P的運動時間為x(s).
(1)PD=_________、AD=_________;(用x的代數(shù)式表示)
(2)當點A′落在邊BC上時,求x的值.
(3)如圖(2),另有一動點Q與點P同時出發(fā),在線段BC上以5cm/s的速度從點B運動到點C,過點Q作QE⊥AB于點E,將△BQE繞QE的中點旋轉180°得到△B′EQ,
①連結A′B′,當直線A′B′與△ABC的一邊垂直時,求線段A′B′的長.
②當A′關于QE的對稱點落在四邊形BE B′Q的內部(包括邊上)時,直接寫出x的取值范圍.
【答案】 3x 4x
【解析】試題分析:(1)由勾股定理和相似三角形的判定與性質即可表示出PD、AD的值;
(2)當A’在BC邊上時,根據(jù)線段之間的數(shù)量關系,求出x的值;
(3)分A′B′⊥AB時,A′B′⊥BC時,A′B′⊥AC時,結合銳角三角函數(shù)的概念,即可求得A'B'的長度.
試題解析: (1)PD=3x,AD=4x;
(2)如圖(1)當點A′落在邊BC上時,由題意得
四邊形AP A′D為平行四邊形
∵△APD∽△ABC,AP=5x,
∴ A′P=AD=4x,PC=4-5x.∵A′P//AB ∴△A′PC∽△ABC.
x=.當點A′落在邊BC上時, x=.
(3) Ⅰ、當A′B′⊥AB時,如圖6,
∴DH=PA′=AD,HE=B′Q=EB,
∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=5,
∴x=,
∴A′B′=QEPD=x=;
Ⅱ、當A′B′⊥BC時,如圖7,
∴B′E=5x,DE=57x,
∴cosB==35,
∴x=,
∴A′B′=B′DA′D=;
Ⅲ、當A′B′⊥AC時,如圖8,
由(1)有,x=,
∴A′B′=PA′sinA=;
當A′B′⊥AB時,x=,A1B1=.
當A′B′⊥BC時x=, A1B1=.
當A′B′⊥AC時x=, A1B1=.
②.
點睛(1)根據(jù)勾股定理求出AC,證明△APD∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質計算;
(2)根據(jù)四邊形AP A′D為平行四邊形,△APD∽△ABC, A′PC∽△ABC進行解答;
(3)根據(jù)題意畫出圖形,分三種情況,結合銳角三角函數(shù)的概念計算.
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【題目】代數(shù)式a﹣b2的意義表述正確的是( )
A.a減去b的平方的差
B.a與b差的平方
C.a、b平方的差
D.a的平方與b的平方的差
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【題目】下列運算正確的是( )
A. (m+n)(﹣m+n)=n2﹣m2B. (a﹣b)2=a2﹣b2
C. (a+m)(b+n)=ab+mnD. (x﹣1)2=x2﹣2x﹣1
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【題目】如圖,AB是⊙O直徑,點C在⊙O上,
AD平分∠CAB,BD是⊙O的切線,AD與BC相交于點E.
(1)求證:BD=BE;
(2)若DE=2,BD=,求CE的長.
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【題目】小明在計算A-2(ab+2bc-4ac)時,由于馬虎,將“A-”寫成了“A+”,得到的結果是3ab-2ac+5bc。試問:假如小明沒抄錯時正確的結果是多少。
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