Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，BD∥OA，交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接BC．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4．

【解析】

試題分析：（1）連接OB，如圖．根據(jù)題意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．則∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．從而得出CD是⊙O的切線．

（2）作OE⊥AC于點(diǎn)E．由OE⊥AC，AC=，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．

（1）證明：連接OB，如圖．

∵OA=OB，∠OAB=45°，

∴∠1=∠OAB=45°．

∵AO∥DB，

∴∠2=∠OAB=45°．

∴∠1+∠2=90°．

∴BD⊥OB于B．

∴又點(diǎn)B在⊙O上．

∴BD是⊙O的切線．

（2）解：作OE⊥AC于點(diǎn)E．

∵OE⊥AC，AC=，

∴AE==．

∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，

∴∠3=∠BAC﹣∠OAB=30°．

∴在Rt△OAE中，

解法二：如圖

延長(zhǎng)AO與⊙O交于點(diǎn)F，連接FC．

∴∠ACF=90°．

在Rt△ACF中，．

∴AO==4．