【題目】如圖①,△ABC為等腰直角三角形, △ABD為等邊三角形,連接CD.
(1)求∠ACD的度數(shù);
(2)如圖①,作∠BAC的平分線交CD于點E,求證:DE=AE+CE;
(3)如圖②,在(2)的條件下,M為線段BC右側(cè)一點,滿足∠CMB=60°,求證:ME平分∠CMB.
【答案】(1)15°;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)由題意可得∠BAC=90°,AB=AC,∠BAD=60°,AB=AD,于是可證得∠CAD=150°,AC=AD,故可求∠ACD的度數(shù);
(2)在ED截取EF=AE,連接AF,證明△AEF為等邊三角形,再證△ADF△AEC,即可得出結(jié)論;
(3)連接EB,作EG⊥BM于點G,EH⊥MC交MC的延長線于點H.證明△ABE△AEC和△BEG△HEC,于是可得EG=EH,根據(jù)角平分線的判定定理即可證明ME平分∠CMB.
解:(1)如圖①,
∵△ABC為等腰直角三角形,
∴∠BAC=90°,AB=AC,
∵△ABD為等邊三角形,
∴∠BAD=60°,AB=AD,
∴∠CAD=150°,AC=AD,
∴∠ACD==15°,
(2)在ED截取EF=AE,連接AF,
∵AE平分∠BAC,∠BAC=90°,
∴∠EAC=45°,
∵∠ACD=15°,
∴∠DEA=45°+15°=60°,
∵EF=AE,
∴△AEF為等邊三角形,
∴AF=AE,∠FAE=60°,
∴∠FAD=150°-60°-45°=45°,
∴∠FAD=∠EAC,
在△ADF和△AEC中
,
∴△ADF△AEC,
∴DF=CE,
∴DE=DF+EF=CE+AE,
(3)連接EB,作EG⊥BM于點G,EH⊥MC交MC的延長線于點H,
由(1)(2)可知在△ABE和△AEC中,
∴△ABE△AEC,
∴BE=CE,∠AEB=∠AEC=120°,
∴∠BEC=360°-120°-120°=120°,
∵在四邊形GEHM中,∠CMB=60°,EG⊥BM,EH⊥MC,
∴∠GEH=360°-60°-90°-90°=120°,
∴∠GEH=∠BEC,
∴∠CEH=∠BEG,
在△BEG和△HEC中,
∴△BEG△HEC,
∴EG=EH,
∴EM平分∠CMB.
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【題目】黃巖島自古以來就是中國的領土,如圖,為維護海洋利益,三沙市一艘海監(jiān)船在黃巖島附近海域巡航,某一時刻海監(jiān)船在A處測得該島上某一目標C在它的北偏東45°方向,海監(jiān)船沿北偏西30°方向航行60海里后到達B處,此時測得該目標C在它的南偏東75方向,求此時該船與目標C之間的距離CB的長度,(結(jié)果保留根號)
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【題目】已知:如圖, AB是⊙O的直徑,AM和BN是⊙O的兩條切線,點D是AM上一點,聯(lián)結(jié)OD , 作BE∥OD交⊙O于點E, 聯(lián)結(jié)DE并延長交BN于點C.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)若AD=l,BC=4,求直徑AB的長.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,已知AD⊥BC,∠B=64°,∠C=56°,
(1)求∠BAD和∠DAC的度數(shù);
(2)若DE平分∠ADB,求∠AED的度數(shù).
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【題目】如圖,C為線段AE上一動點(不與A.E重合),在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,以下五個結(jié)論:①AD=BE;②PQ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°,一定成立的有________(填序號)
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2﹣6x+5的圖象交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,連接BC.
(1)直接寫出點B、C的坐標,B ;C .
(2)點P是y軸右側(cè)拋物線上的一點,連接PB、PC.若△PBC的面積15,求點P的坐標.
(3)設E為線段BC上一點(不含端點),連接AE,一動點M從點A出發(fā),沿線段AE以每秒一個單位速度運動到E點,再沿線段EC以每秒2個單位的速度運動到C后停止,當點E的坐標是 時,點M在整個運動中用時最少,最少用時是 秒.
(4)若點Q在y軸上,當∠AQB取得最大值時,直接寫出點Q的坐標 .
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【題目】(3分)如圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AC,垂足為E,BF∥AC交ED的延長線于點F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.給出下列四個結(jié)論:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF,其中正確的結(jié)論共有( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】在世界經(jīng)濟的影響下,國家采取擴大內(nèi)需的政策,基建投資成為拉動內(nèi)需最強有力的引擎,金強公司中標一項工程,在甲、乙兩地施工,其中甲地需推土機30臺,乙地需推土機26臺,公司在A、B兩地分別庫存推土機32臺和24臺,現(xiàn)從A地運一臺到甲、乙兩地的費用分別是400元和300元.從B地運一臺到甲、乙兩地的費用分別為200元和500元,設從A地運往甲地x臺推土機,運這批推土機的總費用為y元.
(1)根據(jù)題意,可將庫存地和施工地之間推土機的運輸數(shù)量列表如下:
甲地(臺) | 乙地(臺) | 合計 | |
A地 | x | A地庫存:32 (臺) | |
B地 | B地庫存:24 (臺) | ||
合計 | 甲地需求:30 (臺) | 乙地需求:26 (臺) | 總計:56 (臺) |
(2)求y與x的函數(shù)關系式;
(3)當x取何值時,能使運送這批推土機的總費用最少?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點.△ABC的邊BC在x軸上,A、C兩點的坐標分別為A(0,m)、C(n,0),B(﹣5,0),且,點P從B出發(fā),以每秒2個單位的速度沿射線BO勻速運動,設點P運動時間為t秒.
(1)求A、C兩點的坐標;
(2)連接PA,用含t的代數(shù)式表示△POA的面積;
(3)當P在線段BO上運動時,是否存在一點P,使△PAC是等腰三角形?若存在,請寫出滿足條件的所有P點的坐標并求t的值;若不存在,請說明理由。
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