Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C是x軸上的一個動點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動時，始終保持是等腰直角三角形（，點(diǎn)A、C、P按逆時針方向排列）；當(dāng)點(diǎn)C移動到點(diǎn)O時，得到等腰直角三角形（此時點(diǎn)P與點(diǎn)B重合）.

（初步探究）

（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)________；

（2）點(diǎn)C在x軸上移動過程中，作軸，垂足為點(diǎn)D，都有，請?jiān)趫D2中畫出當(dāng)?shù)妊�直�?/span>的頂點(diǎn)P在第四象限時的圖形，并求證：.

（深入探究）

（3）當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動時，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動.探究點(diǎn)P在怎樣的圖形上運(yùn)動，請直接寫出結(jié)論，并求出這個圖形所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（4）直接寫出的最小值為________.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）點(diǎn)P在直線上運(yùn)動；；（4）8.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)題意作圖，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)判定；

（3）根據(jù)題意去特殊點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法即可求解；

（4）當(dāng)P在B點(diǎn)時，AP最小，故可求解.

（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，△為等腰直角三角形，

∴AO=BO

∴

（2）如圖，

∵是等腰直角三角形，且∴

∵∴∴，

∵∴∴

在和中，∴

(3)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動；

∵兩點(diǎn)確定一條直線

∴可以取兩個特殊點(diǎn)

當(dāng)P在y軸上時，，

∴

當(dāng)P在x軸上時，，∴

設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為；

將和代入，得解得

所以所求的函數(shù)表達(dá)式為；

（4）如圖，作AP⊥直線，即P與B點(diǎn)重合，

∴AP2=22+22=8.