【題目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,P是邊AC上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)A、C),過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF∥AC,交AB于點(diǎn)F.設(shè)PC=x,
PE=y.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)是否存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△?若存在,求此時(shí)的x的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,
∴sinC= ,
∵PE⊥BC于點(diǎn)E,
∴sinC= = ,
∵PC=x,PE=y,
∴y= x(0<x<20)
(2)解:存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△,
①如圖1,當(dāng)∠FPE=90°時(shí),四邊形PEBF是矩形,BF=PE= x,
四邊形APEF是平行四邊形,PE=AF= x,
∵BF+AF=AB=10,
∴x=10;
②如圖2,當(dāng)∠PFE=90°時(shí),Rt△APF∽Rt△ABC,
∠ARP=∠C=30°,AF=40﹣2x,
平行四邊形AFEP中,AF=PE,即:40﹣2x= x,
解得x=16;
③當(dāng)∠PEF=90°時(shí),此時(shí)不存在符合條件的Rt△PEF.
綜上所述,當(dāng)x=10或x=16,存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△.
【解析】考查了相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),解直角三角形,注意分類思想的運(yùn)用,綜合性較強(qiáng),難度中等.(1)在Rt△ABC中,根據(jù)三角函數(shù)可求y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)分三種情況:①如圖1,當(dāng)∠FPE=90°時(shí),②如圖2,當(dāng)∠PFE=90°時(shí),③當(dāng)∠PEF=90°時(shí),進(jìn)行討論可求x的值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì),掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對角線互相平分;矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對角線相等即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把一個(gè)圓錐沿母線OA剪開,展開后得到扇形AOC,已知圓錐的高h(yuǎn)為12cm,OA=13cm,則扇形AOC中 的長是cm(計(jì)算結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,分別延長△ABC的邊AB、AC到D、E,∠CBD與∠BCE的平分線相交于點(diǎn)P,愛動(dòng)腦筋的小明在寫作業(yè)的時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:
(1)若∠A=60°,則∠P= °;
(2)若∠A=40°,則∠P= °;
(3)若∠A=100°,則∠P= °;
(4)請你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納∠A與∠P的關(guān)系 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣2,8),(﹣11,6),(﹣14,0),(0,0).
(1)求這個(gè)四邊形的面積.
(2)如果把原來的四邊形ABCD向下平移3個(gè)單位長度,再向左平移2個(gè)單位長度后得到新的四邊形A1B2C3D4,請直接寫出平移后的四邊形各點(diǎn)的坐標(biāo)和新四邊形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用A、B兩種機(jī)器人搬運(yùn)大米,A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)20袋大米,A型機(jī)器人搬運(yùn)700袋大米與B型機(jī)器人搬運(yùn)500袋大米所用時(shí)間相等.求A、B型機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少袋大米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是矩形ABCD的一條對角線.
(1)作BD的垂直平分線EF,分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為點(diǎn)O.(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)求證:DE=BF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是矩形ABCD的一條對角線.
(1)作BD的垂直平分線EF,分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為點(diǎn)O.(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)求證:DE=BF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(背景知識)數(shù)軸上有兩點(diǎn) A、B 對應(yīng)的數(shù)為 a、b,AB表示這兩個(gè)點(diǎn)間的距離,這兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)為.
已知數(shù)軸上有三點(diǎn) A、B、C,對應(yīng)的數(shù)分別為 a、b、c,a、b、c 滿足以下兩個(gè)條件:①② a-b+c=0.
(1)求出 a、b、c 的值;
(2)若數(shù)軸上有一點(diǎn) P,PA=3PB,求出滿足條件的P點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù);
(3)點(diǎn)A以每秒鐘2個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B以每秒鐘4個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C以每秒鐘6個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng).它們同時(shí)出發(fā),M為AB 的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn),Q為AC的中點(diǎn),O為原點(diǎn),試求的值.
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