【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點A(﹣1,0)和B(0,2 ),對稱軸為x=

(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線與x軸交于另一個交點為C,點D在線段AC上,已知AD=AB,若動點P從A出發(fā)沿線段AC以每秒1個單位長度的度數(shù)勻速運動,同時另一動點Q以某一速度從B出發(fā)沿線段BC勻速運動,問是否存在某一時刻,使線段PQ被直線BD垂直平分?若存在,求出點Q的運動速度;若不存在,請說明理由.
(3)在(2)的前提下,過點B的直線l與x軸的負(fù)半軸交于點M,是否存在點M,使以A,B,M為頂點的三角形與△PBC相似?如果存在,請直接寫出M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣ 2+k,(a≠),

把點A(﹣1,0)和B(0,2 )代入得到 ,

解得 ,

∴y=﹣ (x﹣ 2+ ,

∴y=﹣ x2+ x+2


(2)

解:令y=0得到﹣ x2+ x+2 =0,解得x= 或﹣1,

∴C( ,0),A(﹣1,0),AB= =3,

∵AD=AB,

∴AD=3,

∴D(2,0),

∵PB被BD垂直平分,

∴BP=BQ,

∴∠DBP=∠DBQ,

(角平分線的性質(zhì)定理,可以用面積法證明),

= ,

∴t=2或 ,

∵t<3,

∴t=2,

∴BP=3,BQ=3,

∴VQ=


(3)

解:存在.理由如下:

由題意P(1,0),PB=3,PC= ,

∵BA=BP=2,

∴∠BAP=∠BPA,

∴∠BPC=∠BAM,

①當(dāng) ,△MAB∽△BPC,

= ,

∴AM= ,OM=OA+AM=

∴M(﹣ ,0).

②當(dāng) 時,△MAB∽CPB,

= ,

∴AM= ,OM=AM+OA= ,

∴M(﹣ ,0).


【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣ 2+k,(a≠),把點A(﹣1,0)和B(0,2 )代入,解方程組即可解決問題.(2)首先求出A、C坐標(biāo),由∠DBP=∠DBQ,可得 (角平分線的性質(zhì)定理,可以用面積法證明),即 = ,解方程即可解決問題.(3)存在.理由如下:首先證明∠BPC=∠BAM,分兩種情形討論①當(dāng) ,△MAB∽△BPC,列出方程解方程即可.②當(dāng) 時,△MAB∽CPB,列出方程解方程即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的應(yīng)用,需要了解測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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組別

分組

頻數(shù)

頻率

1

9

2

m

b

3

21

4

a

5

2

n

(1)分別求出a、bm、n的值;寫出計算過程

(2)老師說:王曉的測試成績是被抽取的同學(xué)成績的中位數(shù),那么王曉的測試成績在什么范圍內(nèi)?

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