Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.試猜想CE與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】CE＝BD

【解析】試題分析：

結(jié)合圖形和已知條件直觀(guān)感覺(jué)CE=BD，但在原圖中確難以證明，說(shuō)明這道題需要作輔助線(xiàn).考慮到把角的一邊沿角平分線(xiàn)折疊后，會(huì)與另一邊重合，即若把BC沿BD折疊，則點(diǎn)C會(huì)落到BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，設(shè)這個(gè)落點(diǎn)為F，則CE=CF，（如下圖），而此時(shí)我們?cè)賮?lái)觀(guān)察，就發(fā)現(xiàn)很容易證得△BAD≌△CAF，從而可得CF=BD，進(jìn)一步就可得CE=BD.

試題解析：

CE＝BD.理由如下：

延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，如圖

∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2.

∵CE⊥BD，

∴∠BEC＝∠BEF＝90°.

又∵BE＝BE，

∴△BEC≌△BEF(ASA)．

∴CE＝FE＝CF.

∵∠1＋∠4＝∠3＋∠5＝90°，∠4＝∠5，

∴∠1＝∠3.

又∵∠BAD＝∠CAF＝90°，AB＝AC，

∴△BAD≌△CAF(ASA)，

∴BD＝CF，

∴CE=CF＝BD.