【題目】如圖,將邊長(zhǎng)為4的正方形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在邊OA上從O向A運(yùn)動(dòng),連接CP交對(duì)角線OB于點(diǎn)Q,連接AQ.
(1)求證:△OCQ≌△OAQ;
(2)當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( , )時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P在邊OA上從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后,再繼續(xù)在邊AB上從A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,在整個(gè)過(guò)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,若△OCQ恰為等腰三角形,請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】
(1)證明:∵四邊形OCBA是正方形,
∴OC=OA,∠COD=∠AOD=45°,
在△OCD和△OAD中 ,
∴△OCD≌△OAD(SAS),
(2)解:∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( , ),
∴OQ= ,
在正方形OABC中,BC∥OA,OC=BC=4,
∴OB=4 ,
∴BQ=OB﹣OQ= ,
∵BC∥OA,
∴△OQP∽△BQC,
∴ ,
∴ ,
∴OP=2,
∴P(2,0);
(3)解:解:分為三種情況:
①OC=OD時(shí),如圖1,
∴OD=4,
∵OB=4 ,
∴BD=OB﹣OD=4 ﹣4,
∵∠BOC=45°,
∴∠OCP=67.5°,
∴點(diǎn)P在AB上,
∵OC∥AB,
∴△ODC∽△BDP,
∴ ,
∴ ,
∴BP=4 ﹣4,
∴AP=AB﹣BP=4﹣(4 ﹣4)=8﹣4 ,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,8﹣4 );
②CD=OD時(shí),如圖2,
∵∠BOC=45°,
∴點(diǎn)D是OB的中點(diǎn),
∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,0);
③OC=CD時(shí),
∴∠CDO=∠COD=45°.
∴∠OCD=90°,
∴點(diǎn)P和點(diǎn)B重合,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,4).
即滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,8﹣4 )或(4,0)或(4,4).
【解析】(1)根據(jù)正方形性質(zhì)推出OC=OA,∠COD=∠AOD=45°,根據(jù)SAS證明三角形全等即可;(2)先求出OB,OQ,進(jìn)而判斷出△OQP∽△BQC,即可得出結(jié)論.(3)分為三種情況:①OC=OD時(shí),②CD=OD時(shí),③OC=CD時(shí),根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和相似求出即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角)才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE.
(1)判斷OF與OD的位置關(guān)系;
(2)若∠AOC∶∠AOD=1∶5,求∠EOF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,則①;②;③;④;⑤4a+2b+c>0;⑥a+b+c>0上述六個(gè)結(jié)論中正確的有( )
A. 兩個(gè) B. 三個(gè) C. 四個(gè) D. 五個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】650萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)是( )
A.0.65×107
B.6.5×106
C.65×105
D.65×106
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店經(jīng)銷一種商品,由于進(jìn)價(jià)降低了5%,出售價(jià)不變,使得利潤(rùn)由n%提高到(n+6)%,則n的值為( ).
A.10B.12C.14D.17
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)的年收入約為700000元,數(shù)據(jù)“700000”用科學(xué)記數(shù)法可表示為( )
A.0.7×106
B.7×105
C.7×104
D.70×104
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,用同樣規(guī)格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面,請(qǐng)觀察下列圖形并解答有關(guān)問(wèn)題.
(1)在第n個(gè)圖中,第一橫行共_________ 塊瓷磚,第一豎列共有_________ 塊瓷磚;(均用含n的代數(shù)式表示)
(2)設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為y,請(qǐng)寫出y與(1)中的n的函數(shù)關(guān)系式;
(3)按上述鋪設(shè)方案,鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚,求此時(shí)n的值;
(4)黑瓷磚每塊4元,白瓷磚每塊3元,問(wèn)題(3)中,共花多少元購(gòu)買瓷磚;
(5)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l1∥l2,且l3和l1,l2分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在AB上.
(1)試找出∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系并說(shuō)出理由;
(2)如果點(diǎn)P在A,B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng),問(wèn)∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系是否發(fā)生變化?
(3)如果點(diǎn)P在A,B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng),試探究∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系(點(diǎn)P和A,B不重合).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列各運(yùn)算中,計(jì)算正確的是( )
A.(x﹣2)2=x2﹣4
B.(3a2)3=9a6
C.x6÷x2=x3
D.x3x2=x5
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