【題目】如圖,在RtABC中,∠C=90°,AC=2cm,AB=4cm.點P從點A出發(fā),沿AB1cm/s的速度向終點B運動.當點P與點A、B不重合時,過點PPQAB交射線AC于點Q,以AP,AQ為鄰邊向上作平行四邊形APMQ.設點P的運動時間為xs),解答下列問題.

1)∠A=   °;

2)當點MBC上時,x的值為   

3)設平行四邊形APMQABC的重疊部分圖形的面積為ycm2),求yx之間的函數(shù)關系式;

4)整個運動過程中,直接寫出ABM為直角三角形時x的值.

【答案】160;(2;(3;(42

【解析】

1)求出∠A的余弦值即可解決問題.

2)利用平行線分線段成比例定理,構建方程求解即可.

3)分三種情形:如圖1中,當0x時,重疊部分是平行四邊形APMQ.如圖3中,當x≤1時,重疊部分是五邊形APEFQ.如圖4中,當1x4時,重疊部分是四邊形APEC.分別求解即可解決問題.

4)分兩種情形:①當∠AMB=90°,利用相似三角形的性質構建方程求解.②當∠ABM=90°時,利用三角形的中位線定理求解即可.

1)如圖中,

RtABC中,∵∠ACB=90°,AC=2cm,AB=4cm,

cosA=,

∴∠A=60°,

故答案為:60

2)如圖2中,當點M落在BC上時,

由題意知,PA=xcm,

∵四邊形APMQ是平行四邊形,

PM=AQ=2AP=2x,

PMAC

,

x=

故答案為:

3)如圖1中,當0x時,重疊部分是平行四邊形APMQ,

RtAPQ中,∵∠AQP=30°AP=x,

AQ=2xPQ=x,

y=SAPMQ=AP×PQ=x2

如圖3中,當x≤1時,重疊部分是五邊形APEFQAP=x,

AQ=PM=2x,PB=4x,

PE=4x).

EM=PMPE=2x4x=x2

EF=x2).

y=SAPMQSEFM=x2×x22=x2+5x2

如圖4中,當1x4時,重疊部分是四邊形APEB,AP=x

AQ=2x,BP=4x

PE=4x).

BE=4x),

CE=24x=x

y=S四邊形ACEP=PE+ACCE= [4x+2]×x=x2+x

綜上所述,y=

4)如圖5中,當∠AMB=90°時,設PQAMF,

∵∠PAF=BAM,∠APF=AMB=90°,

∴△APF∽△AMB,

,

PA=x,PQ=xPF=FQ=x,

AF=x,

∵四邊形APMQ是平行四邊形,

AM=2AF=x

,

x=,(舍去).

如圖6中,當∠ABM=90°時,設AMPQF

∵∠APF=ABM=90°,

PFBM,

AF=FM,

AP=PB=2,

x=2,

綜上所述,滿足條件的x的值為2

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