Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．動點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B﹣A﹣C運(yùn)動到點(diǎn)C時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x s時，△PBC的面積為y cm2 ． 已知y與x的函數(shù)圖象如圖②所示．請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）試判斷△DOE的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)a為何值時，△DOE與△ABC相似？

Answer 1

【答案】
（1）解：△DOE是等腰三角形．

理由如下：過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，

∴AM= × = a，AC=AB= a，

∴S△ABC= BCAM= a2，

∴P在邊AB上時，

y= S△ABC= ax，

P在邊AC上時，

y= S△ABC= a2﹣ ax，

作DF⊥OE于F，

∵AB=AC，點(diǎn)P以1cm/s的速度運(yùn)動，

∴點(diǎn)P在邊AB和AC上的運(yùn)動時間相同，

∴點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，

∴DF是OE的垂直平分線，

∴DO=DE，

∴△DOE是等腰三角形

（2）解：由題意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，

∴AM= × = a，

∴AB= a，

∴D（ a， a2），

∵DO=DE，AB=AC，

∴當(dāng)且僅當(dāng)∠DOE=∠ABC時，△DOE∽△ABC，

在Rt△DOF中，tan∠DOF= = = a，

由 a=tan30°= ，得a= ，

∴當(dāng)a= 時，△DOE∽△ABC．

【解析】（1）首先作DF⊥OE于F，由AB=AC，點(diǎn)P以1cm/s的速度運(yùn)動，可得點(diǎn)P在邊AB和AC上的運(yùn)動時間相同，即可得點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，即可證得DF是OE的垂直平分線，可得△DOE是等腰三角形；（2）設(shè)D（ a， a2），由DO=DE，AB=AC，可得當(dāng)且僅當(dāng)∠DOE=∠ABC時，△DOE∽△ABC，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)a= 時，△DOE∽△ABC．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的性質(zhì)和解直角三角形，需要了解對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能得出正確答案．