Question

(25分)如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的內(nèi)切圓分別與邊BC、CA、AB相切于點(diǎn)D、E、F，聯(lián)結(jié)AD與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求證:
(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.

Answer 1

(1)如圖，聯(lián)結(jié)DF.則△BDF是等腰直角三角形.于是，∠FPD=∠FDB=45°.故∠DPC=45°.

又因?yàn)椤螾DC=∠PFD，所以，△PFD∽△PDC.
從而，PF/FD=PD/DC.①
由∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
得△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE.
于是，EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF.
故由式①得EP/DE=PD/DC.
(2)因?yàn)椤螮PD=∠EDC，結(jié)合式②得△EPD’∽△EDC.所以，△EPD也是等腰三角形.

略