【題目】已知∠MAN=120°,點C是∠MAN的平分線AQ上的一個定點,點B,D分別在AN,AM上,連接BD

【發(fā)現(xiàn)】

1)如圖1,若∠ABC=ADC=90°,則∠BCD=   °CBD   三角形;

【探索】

2)如圖2,若∠ABC+ADC=180°,請判斷CBD的形狀,并證明你的結(jié)論;

【應(yīng)用】

3)如圖3,已知∠EOF=120°OP平分∠EOF,且OP=1,若點G,H分別在射線OE,OF上,且PGH為等邊三角形,則滿足上述條件的PGH的個數(shù)一共有   .(只填序號)

2344個以上

【答案】160,等邊;2)等邊三角形,證明見解析(3.

【解析】試題分析:1)利用四邊形的內(nèi)角和即可得出∠BCD的度數(shù),再利用角平分線的性質(zhì)定理即可得出CB,即可得出結(jié)論;

2)先判斷出∠CDE=ABC,進而得出CDE≌△CFBAAS),得出CD=CB,再利用四邊形的內(nèi)角和即可得出∠BCD=60°即可得出結(jié)論;

3)先判斷出∠POE=POF=60°,先構(gòu)造出等邊三角形,找出特點,即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)如圖1,連接BD,

∵∠ABC=ADC=90°MAN=120°,

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得,∠BCD=360°-ABC+ADC+MAN=60°,

AC是∠MAN的平分線,CDAMCBAN,

CD=CB,(角平分線的性質(zhì)定理),

∴△BCD是等邊三角形;

故答案為:60,等邊;

2)如圖2,同(1)得出,∠BCD=60°(根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理),

過點CCEAMECFANF,

AC是∠MAN的平分線,

CE=CF,

∵∠ABC+ADC=180°,ADC+CDE=180°

∴∠CDE=ABC,

CDECFB中,

,

∴△CDE≌△CFBAAS),

CD=CB

∵∠BCD=60°,

∴△CBD是等邊三角形;

3)如圖3

OP平分∠EOF,EOF=120°,

∴∠POE=POF=60°,在OE上截取OG'=OP=1,連接PG',

∴△G'OP是等邊三角形,此時點H'和點O重合,

同理:OPH是等邊三角形,此時點G和點O重合,

將等邊PHG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)到等邊PG'H',在旋轉(zhuǎn)的過程中,

PG,PH分別和OE,OF相交(如圖中G'H')和點P圍成的三角形全部是等邊三角形,(旋轉(zhuǎn)角的范圍為(60°包括60°),

所以有無數(shù)個;

理由:同(2)的方法.

故答案為④

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