Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0， ）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為： ；

（2）P（1，1）；

（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2， ），（， ），（， ）．

【解析】【試題分析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），因?yàn)?/span>A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三點(diǎn)在拋物線上，則構(gòu)造三元方程組，得，解得．即拋物線的解析式為： ；

（2）如圖1，根據(jù)拋物線的解析式為，得其對(duì)稱軸為直線： ，連接BC，設(shè)直線BC的解析式為，

根據(jù)B、C兩點(diǎn)，得方程組解得

即直線BC的解析式為，當(dāng)x=1時(shí)， .∴P（1，1）；

（3）存在．A（﹣1，0），C（0， ）,M(m,0), ,根據(jù)相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)重合.

若A、C相對(duì)，則 ，解得n=2, ∴N1（2， ）；

若A、M相對(duì)，則，解得n= ∴N2（， ），N3（， ）．；

若A、N相對(duì)，則 ，解得n=2,（舍去）；

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2， ），（， ），（， ）．

【試題解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三點(diǎn)在拋物線上，

∴，解得．

∴拋物線的解析式為： ；

（2）∵拋物線的解析式為，

∴其對(duì)稱軸為直線： .

連接BC，設(shè)直線BC的解析式為，

∵B（3，0），C（0， ），∴解得

∴直線BC的解析式為

當(dāng)x=1時(shí)， .∴P（1，1）；

（3）存在．

存在．A（﹣1，0），C（0， ）,M(m,0),

若A、C相對(duì)，則 ，解得n=2, ∴N1（2， ）；

若A、M相對(duì)，則，解得n= ∴N2（， ），N3（， ）．；

若A、N相對(duì)，則 ，解得n=2,（舍去）；

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2， ），（， ），（， ）．