Question

【題目】如圖，直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)C，連接BC，P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，P與A，C不重合，作PQ∥BC交AB于點(diǎn)Q，A關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接PD，QD，BD．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△PDQ與△ABC的重疊部分的面積為S

①直接寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)△BDQ為直角三角形時(shí)，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，0）；（3）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)為直角三角形時(shí)，x的值是或．

【解析】

（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入到二次函數(shù)解析式中，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，0），由拋物線解析式求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得∠BCO=45°，由平行線的和對(duì)稱的性質(zhì)求得∠QPA=∠BCO=45°，∠APD=90°，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)（x，x+3），然后根據(jù)點(diǎn)D在拋物線上列方程求解；

（3）①存在2種情況，一種是點(diǎn)D在BC的左側(cè)，另一種是點(diǎn)D在BC的右側(cè)，利用三角形相似與面積的關(guān)系可求得；

②分當(dāng)∠QBD=90°和∠QDB=90°兩種情況，結(jié)合勾股定理及平行線分線段成比例定理求解AP的長，從而求x的值．

解：（1）在y＝x+4中，令x=0則y=4，令y=0則x=-3

∴A（-3，0），B（0，4）

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)

∴

解得

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，0）

令y＝﹣x2+x+4=0

解得，

所以C（4，0）

∴OB=OC=4

∴∠BCO=45°

又∵ PQ∥BC且點(diǎn)A關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)為D，

∴∠QPA=∠DPQ=∠BCO=45°

∴∠APD=90°

又∵A（-3，0）

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（x，x+3）,

由題意點(diǎn)D在拋物線上

∴x+3=﹣x2+x+4

解得

∵P與A，C不重合

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，0）．

①當(dāng)點(diǎn)D剛好在BC上時(shí)

∵B(0，4)，C(4，0)

∴直線BC的解析式為：y=-x+4

當(dāng)點(diǎn)D剛好在BC上時(shí)，則D(x，-x+4)

∵PD=AP

∴-x+4=3+x，解得：x=

情況一：當(dāng)點(diǎn)D在直線BC的左側(cè)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，圖形如下：

則

∵A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)

∴

∵QP∥BC

∴∠AQP=∠ABC

∵∠QAP=∠BAC

∴△AQP∽△ABC

∴

解得：，即

情況二：當(dāng)點(diǎn)D在直線BC的右側(cè)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，圖形如下，QD交BC于點(diǎn)F，DP交BC于點(diǎn)E：

則

已求出

∵∠BCO=45°，∴∠QPA=∠QPD=45°

∴∠APD=90°，即DP⊥x軸

∴△PEC是等腰直角三角形

∴PE=PC=4-x

∵AP=x+3，∴PD=x+3

∴ED=DP-PE=2x-1

同理可知，∽△ABC

∴

解得：

∴-()=

即：

綜上得：當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

②如圖，連接AD，由對(duì)稱性可知AD⊥PQ

∴點(diǎn)D必在過點(diǎn)A作BC的垂線上，設(shè)垂足為E

∴PQ∥BC

當(dāng)∠QBD=90°時(shí)，

∴

，即

解得：，則AF=

∴

∴，即

解得：

∴

當(dāng)∠BDQ=90°時(shí)，由上可知：，

∴根據(jù)勾股定理可得

如圖，若PQ=5，QN=，

設(shè)QM=MP=a，則

∴由勾股定理可得

解得：

∴

即

∴，，

解得

∴

綜上所述，x的值為或．