【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1,拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),且AB=4,又P是拋物線上位于第一象限的點,直線AP與y軸交于點D,與對稱軸交于點E,設點P的橫坐標為t.
(1)求點A的坐標和拋物線的表達式;
(2)當AE:EP=1:2時,求點E的坐標;
(3)記拋物線的頂點為M,與y軸的交點為C,當四邊形CDEM是等腰梯形時,求t的值.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E(1,4);(3)t=4.
【解析】分析:(1)依據拋物線的對稱性可得到A、B的坐標,利用拋物線的交點式可得到拋物線的解析式;
(2)過點P作PF∥y軸,交x軸與點F,則△AEG∽△APF,從而可得到AF=6,然后可求得PF的長,從而可得到EG的長,故此可得到點E的坐標;
(3)先證明∠ADO=∠CME,然后,再求得點C和點M的坐標,從而可得到tan∠ADO=1,于是可得到OD=AO=1,故此可得到AP的解析式,最后求得直線AP與拋物線的交點坐標即可.
詳解:(1)∵AB=4,拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1,∴點A到對稱軸的距離為2,∴A(﹣1,0),B(3,0),∴y=(x+1)(x﹣3)整理得:y=x2﹣2x﹣3;
(2)如下圖所示:過點P作PF⊥x軸,垂足為F.
∵EG∥PF,AE:EP=1:2,∴==.
又∵AG=2,∴AF=6,∴F(5,0).
當x=5時,y=12,∴EG=4,∴E(1,4).
(3)∵CD∥EM,∴∠ADO=∠AEM.
又∵四邊形CDEM是等腰梯形,∴∠ADO=∠CME,∴∠ADO=∠CME.
∵y=x2﹣2x﹣3,∴C(0,﹣3),M(1,﹣4)
∴tan∠DAO=tan∠CME=1,∴OA=OD=1,∴直線AP的解析式為y=x+1.
把y=x+1代入y=x2﹣2x﹣3得:x+1=x2﹣2x﹣3,解得:x=4或x=﹣1(舍去)
∴點P的橫坐標為4,即t=4.
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【題目】如圖,直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,以OA為邊在x軸的下方作等邊三角形OAC,將點C向上平移m個單位長度,使其對應點C′恰好落在直線AB上,則m=( 。
A. 2﹣ B. 2+ C. 4﹣ D. 4+
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【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B(4,0),另一個交點為A,且與y軸交于點C(0,4).
(1)求直線BC與拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點,過點M作MN∥y軸交直線BC于點N,當 MN的值最大時,求△BMN的周長.
(3)在(2)的條件下,MN取得最大值時,若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點,以BC為邊作平行四邊形CBPQ,設平行四邊形CBPQ的面積為S1,△ABN的面積為S2,且S1=4S2,求點P的坐標.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,∠BAC=130°,AB的垂直平分線ME交BC于點M,交AB于點E,AC的垂直平分線NF交BC于點N,交AC于點F,則∠MAN為( )
A.80°B.70°C.60°D.50°
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【題目】為了解九年級學生的體能情況,學校組織了一次體能測試,并隨機選取50名學生的成績進行統計,得出相關統計表和統計圖(其中部分數據不慎丟失,暫用字母m,n表示).
成績等級 | 優(yōu)秀 | 良好 | 合格 | 不合格 |
人數 | m | 30 | n | 5 |
請根據圖表所提供的信息回答下列問題:
(1)統計表中的m= ,n= ;并補全頻數分布直方圖;
(2)若該校九年級有500名學生,請據此估計該校九年級學生體能良好以上的學生有多少人?
(3)根據以往經驗,經過一段時間訓練后,有60%的學生成績可以上升一個等級,請估計經過訓練后九年級學生體能達標率(成績在良好及以上)
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【題目】如圖,點D,E是等邊三角形ABC的邊BC,AC上的點,且CD=AE,AD交BE于點P,BQ⊥AD于點Q,已知PE=2,PQ=6,則AD等于( )
A.10B.12C.14D.16
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【題目】暑假到了,即將迎來手機市場的銷售旺季.某商場銷售甲、乙兩種品牌的智能手機,這兩種手機的進價和售價如下表所示:
甲 | 乙 | |
進價(元/部) | 4000 | 2500 |
售價(元/部) | 4300 | 3000 |
該商場計劃投入15.5萬元資金,全部用于購進兩種手機若干部,期望全部銷售后可獲毛利潤不低于2萬元.(毛利潤=(售價﹣進價)×銷售量)
(1)若商場要想盡可能多的購進甲種手機,應該安排怎樣的進貨方案購進甲乙兩種手機?
(2)通過市場調研,該商場決定在甲種手機購進最多的方案上,減少甲種手機的購進數量,增加乙種手機的購進數量.已知乙種手機增加的數量是甲種手機減少的數量的2倍,而且用于購進這兩種手機的總資金不超過16萬元,該商場怎樣進貨,使全部銷售后獲得的毛利潤最大?并求出最大毛利潤.
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