Question

已知直線l：y=-x+m（m≠0）交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C、M分別在線段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，連接MC，將△ACM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到△FEM，則點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)F在直線l上；取線段EO中點(diǎn)N，將ACM沿MN所在直線翻折，得到△PMG，其中P與A為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．記：過(guò)點(diǎn)F的雙曲線為C₁，過(guò)點(diǎn)M且以B為頂點(diǎn)的拋物線為C₂，過(guò)點(diǎn)P以M為頂點(diǎn)的拋物線為C₃．
（1）如圖，當(dāng)m=6時(shí)，①直接寫(xiě)出點(diǎn)M、F的坐標(biāo)，②求C₁、C₂的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)m發(fā)生變化時(shí)，①在C₁的每一支上，y隨x的增大如何變化請(qǐng)說(shuō)明理由．②若C₂、C₃中的y都隨著x的增大而減小，寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由直線Y=-X+6易求OA、OB，接著可求AB、AM、AC、AF，運(yùn)用相似性質(zhì)可求點(diǎn)M、F縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出橫坐標(biāo)；
（2）函數(shù)增減性關(guān)鍵在于K值，求出解析式可說(shuō)增減性；知道增減性，可求取值范圍．

解答：解：（1）①點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，8）．
設(shè)C₁的函數(shù)解析式為y=

k

x

（k≠0）．
∵C₁過(guò)點(diǎn)F（-2，8），
∴C₁的函數(shù)解析式為y=-

16

x

．
∵C₂的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，6）
∴設(shè)C₂的函數(shù)解析式為y=ax²+6（a≠0）．
∵C₂過(guò)點(diǎn)M（2，4）
∴4a+6=4，
解得a=-

1

2

．
∴C₂的函數(shù)解析式為y=-

1

2

x²+6．

（2）依題意得，A（m，0），B（0，m），
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（

1

3

m，

2

3

m），點(diǎn)F坐標(biāo)為（-

1

3

m，

4

3

m）
①設(shè)C₁的函數(shù)解析式為y=

k

x

（k≠0）．
∵C₁過(guò)點(diǎn)F（-

1

3

m，

4

3

m）
∴k=-

4

9

m²．
∵m≠0
∴k＜0
∴在C₁的每一支上，y隨著x的增大而增大．
②∵點(diǎn)M坐標(biāo)為（

1

3

m，

2

3

m），
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，

4

3

m），
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，

2

3

m）．
∵B（0，m），
∴過(guò)點(diǎn)M且以B為頂點(diǎn)的拋物線C₂的解析式為y=-

3

m

x²+m，
過(guò)點(diǎn)P以M為頂點(diǎn)的拋物線C₃的解析式為y=

3

2m

（x-

1

3

m）²+

2

3

m．
∴當(dāng)m＞0時(shí)，若C₂、C₃中的y都隨著x的增大而減小，則

x＞0 x＜ 1 3 m

，解得0＜x＜

1

3

m；
當(dāng)m＜0時(shí)，若C₂、C₃中的y都隨著x的增大而減小，則

x＜0 x＞ 1 3 m

，解得

1

3

m＜x＜0．
答：當(dāng)m＞0時(shí)，滿(mǎn)足題意的x的取值范圍為0＜x＜

1

3

m；當(dāng)m＜0時(shí)，滿(mǎn)足題意的x的取值范圍為

1

3

m＜x＜0．

點(diǎn)評(píng)：此題難度稍大，考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)．