【題目】如圖,已知AM∥BN,∠A=60°,點P是射線AM上一動點(與點A不重合),BC,BD分別平分∠ABP和∠PBN,分別交射線AM于點C,D.
(1)求∠CBD的度數(shù);
(2)當(dāng)點P運動時,∠APB:∠ADB的比值是否隨之變化?若不變,請求出這個比值;若變化,請找出變化規(guī)律;
(3)當(dāng)點P運動到某處時,∠ACB=∠ABD,求此時∠ABC的度數(shù).
【答案】(1)60°;(2)不變,2:1,見解析;(3)30°
【解析】
(1)根據(jù)角平分線的定義只要證明∠CBD=∠ABN即可;
(2)不變.可以證明∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN=∠PBN;
(3)想辦法證明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解決問題;
(1)∵AM∥BN,
∴∠ABN=180°-∠A=120°,
又∵BC,BD分別平分∠ABP和∠PBN,
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=(∠ABP+∠PBN)=∠ABN=60°.
(2)不變.理由如下:
∵AM∥BN,
∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,
又∵BD平分∠PBN,
∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB,即∠APB:∠ADB=2:1.
(3)∵AM∥BN,
∴∠ACB=∠CBN,
又∵∠ACB=∠ABD,
∴∠CBN=∠ABD,
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN,
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN,
∴∠ABC= ∠ABN=30°.
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【題目】如圖,將△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF,若△ABC的周長為16cm,則四辺形ABFD的周長為( )
A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 22cm
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【題目】如圖1,若分別以△ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE和BCFG為正方形,則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形.
(1)發(fā)現(xiàn):如圖2,當(dāng)∠C=90°時,求證:△ABC與△DCF的面積相等.
(2)引申:如果∠C90°時,(1)中結(jié)論還成立嗎?若成立,請結(jié)合圖1給出證明;若不成立,請說明理由;
(3)運用:如圖3,分別以△ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE、BCFG和ABMN為正方形,則稱這三個正方形為外展三葉正方形.已知△ABC中,AC=3,BC=4.當(dāng)∠C=_____°時,圖中陰影部分的面積和有最大值是________.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為( )
A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°
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【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,點E在邊AD上(不與點A、D重合),∠CEB=45°,EB與對角線AC相交于點F,設(shè)DE=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示線段CF的長;
(2)如果把△CAE的周長記作C△CAE,△BAF的周長記作C△BAF,設(shè)=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域;
(3)當(dāng)∠ABE的正切值是時,求AB的長.
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【題目】近年來,我國煤礦安全事故頻頻發(fā)生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn):從零時起,井內(nèi)空氣中CO的濃度達(dá)到4 mg/L,此后濃度呈直線型增加,在第7小時達(dá)到最高值46 mg/L,發(fā)生爆炸;爆炸后,空氣中的CO濃度成反比例下降,如圖,根據(jù)題中相關(guān)信息回答下列問題:
(1)求爆炸前后空氣中CO濃度y與時間x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)的自變量取值范圍;
(2)當(dāng)空氣中的CO濃度達(dá)到34 mg/L時,井下3 km的礦工接到自動報警信號,這時他們至少要以多少km/h的速度撤離才能在爆炸前逃生?
(3)礦工只有在空氣中的CO濃度降到4 mg/L及以下時,才能回到礦井開展生產(chǎn)自救,求礦工至少在爆炸后多少小時才能下井?
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【題目】如圖,直線AB,CD相交于點O,OE⊥CD于點O,∠EOB=115°,求∠AOC的度數(shù).請補(bǔ)全下面的解題過程(括號中填寫推理的依據(jù)).
解:∵OE⊥CD于點O(已知),
∴______(______).
∵∠EOB=115°(已知),
∴∠DOB=______=115°-90°=25°.
∵直線AB,CD相交于點O(已知),
∴∠AOC=______=25°(______).
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【題目】已知△ABC中,點D為BC的中點,BD=AB,AD⊥BC.
(1)如圖1,求∠BAD的度數(shù);
(2)如圖2,點E為BC上一點,點F為AC上一點,連接AE、BF交于點G,若∠AGF=60°,求證:BE=CF;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點G為BF的中點,點H為AG上一點,延長BH交AC于點K,AK=HK,BM⊥AE交AE延長線于點M,BG=9,HM=10,求線段AG的長.
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【題目】如圖:已知AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°
(1)如圖①,當(dāng)∠B=90°時,求證:DB=DC;
(2)如圖②,如果∠ABD<90°時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請給出證明,如果不成立,請舉反例說明;
(3)如圖③,四邊形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=1,則ABAC=___.
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