Question

【題目】如圖，已知：在直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，4）B（﹣4，2）；A1、B1是A、B關(guān)于y軸的對稱點；

（1）請在圖中畫出A、B關(guān)于原點O的對稱點A2，B2（保留痕跡，不寫作法）；并直接寫出A1、A2、B1、B2的坐標(biāo)．

（2）試問：在x軸上是否存在一點C，使△A1B1C的周長最小，若存在求C點的坐標(biāo)，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A1、A2、B1、B2的坐標(biāo)分別為（2，4），（4，2），（2，﹣4），（4，﹣2）；（2）存在．

【解析】

（1）如圖，分別延長AO和BO，使A2O＝AO，B2O＝BO，從而得到點A2，B2，然后利用關(guān)于y軸對稱和原點對稱的點的坐標(biāo)特征寫出點A1、A2、B1、B2的坐標(biāo)；

（2）連接A1B2交x軸于C，如圖，利用點B1與B2關(guān)于x軸對稱得到CB1＝CB2，利用兩點之間線段最短得到此時CA1＋CB1的值最小，所以△A1B1C的周長最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線A1B2的解析式為y＝3x＋10，然后求出直線與x軸的交點坐標(biāo)即可．

解：（1）如圖，點A2，B2為所作，點A1、A2、B1、B2的坐標(biāo)分別為（2，4），（4，2），（2，﹣4），（4，﹣2）；

（2）存在．

連接A1B2交x軸于C，如圖，

∵點B1與B2關(guān)于x軸對稱，

∴CB1＝CB2，

∴CA1+CB1＝CA1+CB2＝A1B2，

此時CA1+CB1的值最小，則△A1B1C的周長最小，

設(shè)直線A1B2的解析式為y＝kx+b，

把A1（2，4），B2（4，﹣2）代入得，解得，

∴直線A1B2的解析式為y＝﹣3x+10，

當(dāng)y＝0時，﹣3x+10＝0，解得x＝，

∴C點坐標(biāo)為（，0）．