Question

【題目】如圖，已知拋物線（）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求直線BC的解析式；

（3）若點(diǎn)N是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為頂點(diǎn)的三角形是否能夠與△OBC相似？若能，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）N坐標(biāo)（5，2）或（2，﹣1）或（－3，14）．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求得拋物線的解析式；

（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，再求得點(diǎn)B、C坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為，然后把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線BC的解析式，求得k和b即可；

（3）設(shè)N（x，），分兩種情況討論：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根據(jù)相似，得出比例式，再分別求得點(diǎn)N坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線（）上，∴，∴，∴拋物線的解析式為：；

（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)B（4，0），C（0，2），設(shè)直線BC的解析式為，∴把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入線BC的解析式為，得：，解得：，∴直線BC的解析式；

（3）設(shè)N（x，），分三種情況討論：

①當(dāng)△OBC∽△HNB時(shí)，如圖1，，即，解得，（不合題意，舍去），∴點(diǎn)N坐標(biāo)（5，2）；

②當(dāng)△OBC∽△HBN時(shí)，如圖2，，即，解得，（不合題意舍去），∴點(diǎn)N坐標(biāo)（2，﹣1）；

③當(dāng)N（x，）在第二象限時(shí)，H（x，0）在x軸負(fù)半軸上，∴BH=，∵△OBC∽△HNB，∴，即，得到：，解得，（不合題意，舍去），∴點(diǎn)N坐標(biāo)（－3，14）；

綜上所述點(diǎn)N坐標(biāo)（5，2）或（2，﹣1）或（－3，14）．