Question

【題目】已知矩形紙片ABCD中，AB=2，BC=3．

操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上．

探究：（1）如圖1，若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，你認(rèn)為△EDA1和△FDC全等嗎？如果全等，請(qǐng)給出證明，如果不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖2，若點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，請(qǐng)你判斷△FCB1、△B1DG和△EA1G之間的關(guān)系，如果全等，只需寫(xiě)出結(jié)果，如果相似，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)果和相應(yīng)的相似比；

（3）如圖2，請(qǐng)你探索，當(dāng)點(diǎn)B落在CD邊上何處，即B1C的長(zhǎng)度為多少時(shí)，△FCB1與△B1DG全等．

Answer 1

【答案】（1）全等．（2）△FCB1與△B1DG相似，相似比為4：3．（3）當(dāng)B1C=3﹣時(shí)，△FCB1與△B1DG全等．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，即得∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，根據(jù)同角的余角相等可得∠A1DE=∠CDF，即可證得結(jié)論；

（2）△B1DG和△EA1G全等證法同（1）；設(shè)FC= ，則B1F=BF= ，B1C=DC=1，根據(jù)勾股定理即可列方程求得x的值，從而求得△FCB1與△B1DG相似的相似比；

（3）設(shè)，則有， ，在直角中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

（1）全等．

∵四邊形ABCD是矩形，

所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，

由題意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，

所以∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，

所以∠A1DE=∠CDF，所以△EDA1≌△FDC（ASA）；

（2）△B1DG和△EA1G全等．

△FCB1與△B1DG相似，設(shè)FC= ，則B1F=BF= ，B1C=DC=1，

所以，所以，

所以△FCB1與△B1DG相似，相似比為4：3；

（3）△FCB1與△B1DG全等．設(shè)，則有， ，

在直角中，可得，

整理得，解得 (另一解舍去)，

所以，當(dāng)B1C=時(shí)，△FCB1與△B1DG全等．