Question

從甲、乙兩題中選做一題即可．如果兩題都做，只以甲題計分．
題甲：如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與一次函數(shù)y=mx+b的圖象交于A（1，3），B（n，-1）兩點．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象回答：當x取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．

題乙：如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A，D不重合），一直角邊經(jīng)過點C，另一直角邊AB交于點E．我們知道，結(jié)論“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）當∠CPD=30°時，求AE的長；
（2）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．
我選做的是

 

．

Answer 1

分析：甲題：A（1，3）在y=

k

x

的圖象上，代入就可以求出k的值，得到k=3，把B（n，-1）代入y=

3

x

的解析式就可以求出n的值．進而根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式．根據(jù)函數(shù)的圖象就可以得到，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時x的范圍．
乙題：①先由“∠CPD=30°和AC=4”得出DP的長，再得AP，從而可求AE；②可以求出，只要先令DP=2AP即可．

解答：甲題：
解：（1）∵A（1，3）在y=

k

x

的圖象上，
∴k=3，
∴y=

3

x

．                                              （2分）
又∵B（n，-1）在y=

3

x

的圖象上，
∴n=-3，即B（-3，-1）．                                （3分）
∴

3=m+b -1=-3m+b

解得：m=1，b=2．                       （6分）
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

，一次函數(shù)的解析式為y=x+2；（7分）

（2）從圖象上可知，當反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上面時，
即x＜-3或0＜x＜1時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．    （9分）

乙題：
解：（1）在Rt△PCD中，由tan∠CPD=

CD

PD

，得
PD=

CD

tan∠CPD

=

4

tan30°

=4

3

，
∴AP=AD-PD=10-4

3

．                               （2分）
由△AEP∽△DPC知：

AE

PD

=

AP

CD

，
∴AE=

AP•PD

CD

=10

3

-12；（5分）

（2）假設(shè)存在滿足條件的點P，設(shè)DP=x，則AP=10-x．
由△AEP∽△DPC知：

CD

AP

=2，（6分）
∴

4

10-x

=2，
解得x=8．
即PD=8．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及反比例函數(shù)的圖象畫法和它的性質(zhì)，利用形數(shù)結(jié)合解決此類問題，是非常有效的方法．