Question

（2013•峨眉山市二模）選做題：從甲、乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計(jì)分．
題甲：如圖1，正比例函數(shù)y=-

1

2

x的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)在第二象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果B為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，在x軸上一點(diǎn)P，使PA+PB最小，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
題乙：如圖2，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）求直徑AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：甲（1）設(shè)A（x，-

1

2

x），根據(jù)△OAM的面積為1，求出x的值，進(jìn)而求出反比例函數(shù)系數(shù)k；
（2）作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N，連結(jié)AN，交x軸于P，AN就是PA+PB的最小值，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式求出AN的長(zhǎng)；
乙（1）連結(jié)OD，BC，證明四邊形CFDE是矩形，得到∠EDO是直角，相切證明；
（2）首先求出CB的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)．

解答：題甲：解：點(diǎn)A是y=-

1

2

x與y=

k

x

（k≠0）的交點(diǎn)，設(shè)A（x，-

1

2

x），
∵△OAM的面積為1，
∴

1

2

|AM|×|OM|=

1

2

x×

1

2

x=1，
解得x=±2，
∵點(diǎn)A在第二象限，所以x=-2，
（-

1

2

）（-2）=-

k

2

，k=-2，
反比例函數(shù)的解析式為y=-

2

x

；

（2）如圖，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N，連結(jié)AN，交x軸于P，
AN就是PA+PB的最小值，
過A作NB的垂線，交BN于G
∵B在y=-

2

x

上，且橫坐標(biāo)為-1，
∴B的縱坐標(biāo)為2，
∴N（-1，-2），
AN=

AG2+NG2

=

(2-1)2+(4-1)2

=

10

，
∴PA+PB的最小值為

10

．

題乙：證明：（1）如圖連結(jié)OD，BC，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
又∵AB是直徑，
∴AC⊥BC，
∴四邊形CFDE是矩形，
∴∠EDO是直角，所以DE與⊙O相切，

（2）∵DE=6，
∴CB=2CF=2ED=12，
又∵AC=16，
∴AB=

AC2+BC2

=

162+122

=20．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題以及切線的判定的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)以及切線判定定理等知識(shí)，此題難度不大，但是綜合在一起，還是有一定的難度．